加法定理のソースを表示

[[数学]]、[[物理学]]等において、[[特殊関数]]の'''加法定理'''（かほうていり、{{lang-en-short|''addition theorem''}}）、加法法則（かほうほうそく、{{lang-en-short|''addition law/rule''}}）あるいは'''加法公式'''（かほうこうしき、{{lang-en-short|''addition formula''}}）とは、ある[[関数 (数学)|関数]]や[[対応 (数学)|対応]]・[[写像]]について、2 つ以上の[[変数 (数学)|変数]]の和として記される変数における値を、それぞれの変数における値によって書き表したもの。

== 概要 ==
変数が 2 つの場合には関数 {{mvar|f}} の加法定理は形式的に 2 変数の関数 {{mvar|G}} を用いて {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''y'') {{=}} ''G''(''f''&thinsp;(''x''), ''f''&thinsp;(''y''))}} の形に書き表される。このときの {{mvar|G}} がどのような関数としてとれるかという基準で加法定理を分類することも考えられる。

たとえば {{mvar|a}} という定数によって {{mvar|a}} 倍する写像 {{math|''m<sub>a</sub>'': ''x'' {{mapsto}} ''ax''}} を考えるとき、{{math|''a''(''x'' + ''y'') {{=}} ''ax'' + ''ay''}} となるという性質は[[分配法則]]と呼ばれるが、これは[[ベクトル空間]]や環（あるいは[[環上の加群]]）などで成立する加法定理の一種である。もう少し一般に関数 {{mvar|f}} が {{math|''f''&thinsp;(''x'' + ''y'') {{=}} ''f''&thinsp;(''x'') + ''f''&thinsp;(''y'')}} の形の加法定理を満足するとき、関数 {{mvar|f}} は加法的であるまたは加法性を持つという。これは関数 {{mvar|f}} が[[加法群]]の間の[[準同型]]となることを意味している。また、指数法則の一つである[[指数関数]]の加法定理 {{math|exp(''x'' + ''y'') {{=}} exp(''x'')exp(''y'')}} などは加法が乗法に写るような加法定理である。

== 例 ==
多様な加法定理が世の中には存在するが、代表的なものを以下に掲げる。

;[[三角関数#加法定理|三角関数の加法定理]]<ref>{{MathWorld|urlname=TrigonometricAdditionFormulas|title=Trigonometric Addition Formulas}}</ref>
;[[球面調和函数]]の加法定理<ref>{{MathWorld|urlname=SphericalHarmonicAdditionTheorem|title=Spherical Harmonic Addition Theorem}}</ref>
;[[ベッセル関数]]の加法定理
;[[楕円関数]]の加法定理: {{mvar|&theta;}} 関数やワイエルシュトラスの <math>\wp</math> 関数などの加法定理。
;[[楕円積分]]の[https://scholar.rose-hulman.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1148&context=rhumj 加法定理]
;[[楕円曲線]]の加法公式
;[[ヤコビ多様体]]の加法公式
; [[数え上げの和の法則|数え上げ]]および[[確率]]の加法定理（和の法則）: [[素集合|集合が互いに素]]（{{ill2|排反事象|en|Mutual exclusivity|label=事象が排反}}）ならば和を分配できる。一般に交わりを持つ場合には[[包除原理]]による。
;[[速度]]の加法定理（[[ガリレイ変換]]、[[ローレンツ変換]]）

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[加法的写像]]: 加法律 (additive law) を満たす写像
* [[和の法則]] (sum rule)
* [[和公式]] (summation formula)
* [[乗法定理]]
* [[積の法則]]
* [[積公式]]

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=AdditionFormulas|title=addition formulas}}
* {{SpringerEOM|urlname=Addition_theorems_in_the_theory_of_special_functions|title=Addition theorems in the theory of special functions|author=Koelink H.T.; Koornwinder T.H.}}

{{Mathanalysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:かほうていり}}
[[Category:数学の定理]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]