加法的写像のソースを表示

{{About|一般の加法的函数|[[数論]]の加法的[[数論的函数|数論函数]]|加法的関数|加法的実函数|コーシーの函数方程式|加法的集合函数|完全加法的集合函数}}
{{出典の明記|date=2017年6月}}
[[抽象代数学]]における'''加法的写像'''（かほうてきしゃぞう、{{lang-en-short|''additive map''}}）、'''{{mathbf|Z}}-線型写像''' (''{{mathbf|Z}}-linear map'') あるいは'''加法的函数'''（かほうてきかんすう、{{lang-en-short|''additive function''}}）は「加法を保存する」、すなわち
* '''加法性''': <math>f(x + y) = f(x) + f(y)\quad(\forall x, y)</math>
を満たす写像を言う。例えば任意の[[線型写像]]は加法的である。定義域が[[実数]]全体であるとき、上記の条件式は[[コーシーの函数方程式]]と呼ばれる。特定のクラスの加法的函数として[[フロベニウス多項式]]が挙げられる。

より形式的に述べれば、加法的函数は {{mathbf|Z}}-[[加群準同型]]の概念に等しい。{{mathbf|Z}}-加群とは[[アーベル群]]のことでもあるから、加法的函数をアーベル群の間の[[群準同型]]と定義することもできる。

典型例として、[[環 (数学)|環]]、[[線型空間]]、[[環上の加群|加群]]の間の加法を保つ写像が挙げられる。特にそれらの間の準同型写像は何れも加法的函数の例となるが、一般には加法的函数が加法以外の構造（例えば環の乗法）を保つとは限らない。

二つの加法的函数 {{mvar|f, g}} に対し、[[点ごと]]の和によって定義される {{math|''f'' + ''g''}} は再び加法的函数となる。

二変数函数 {{math|''V'' × ''W'' → ''X''}} が二つある引数の何れに対してもそれぞれ加法的であるとき、'''双加法的''' (''bi-additive'') であるとか、'''{{mathbf|Z}}-双線型写像''' (''{{mathbf|Z}}-bilinear map'') と呼ぶ。

== 参考文献 ==
* ''Leslie Hogben, Richard A. Brualdi, Anne Greenbaum, Roy Mathias'', Handbook of linear algebra, CRC Press, 2007
* ''Roger C. Lyndon, Paul E. Schupp'', Combinatorial Group Theory, Springer, 2001

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=AdditiveFunction|title=additive function}}

{{DEFAULTSORT:かほうてきしやそう}}
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