加群の根基のソースを表示

[[数学]]において、[[環上の加群|加群]]の理論において、加群の'''根基''' (radical) は構造と分類の理論の構成物である。それは[[環論|環]]の[[ジャコブソン根基]]の一般化である。いろいろな意味でそれは ''M'' の[[半単純成分]] soc(''M'') の概念の[[双対性 (数学)|双対]]概念である。

==定義==
[[File:Radical-of-module.svg|right|300px]]
''R'' を[[環 (数学)|環]]とし ''M'' を左 ''R''-加群とする。''M'' の部分加群 ''N'' は商 ''M''/''N'' が[[単純加群]]であるときに'''[[極大部分加群|極大]]''' (maximal) あるいは '''cosimple''' と呼ばれる。加群 ''M'' の'''根基''' (radical) は ''M'' のすべての極大部分加群の共通部分である
:<math>\mathrm {rad}(M) = \bigcap \{ N \mid N \mbox{ is a maximal submodule of M} \} \,</math>
同じことだが、
:<math>\mathrm {rad}(M) = \sum \{ S \mid S \mbox{ is a superfluous submodule of M} \} \,</math>
これらの定義は soc(''M'') に対して直接的な双対の類似をもつ。

==性質==
* rad(''M'') は余剰部分加群全体の和であるという事実に加えて、[[ネーター加群]]において rad(''M'') それ自身が[[余剰部分加群]]である。
* すべての右 ''R''-加群 ''M'' に対して rad(''M'')&nbsp;={0} であるような環を右 V-環 (right V-ring) と呼ぶ。
* 任意の加群 ''M'' に対して、rad(''M''/rad(''M'')) は 0 である。
* ''M'' が[[有限生成加群]]であることと ''M''/rad(''M'') が有限生成かつ rad(''M'') が ''M'' の余剰部分加群であることは同値である。

==関連項目==
*[[半単純成分]]
*[[ジャコブソン根基]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book | last = Alperin | first = J.L. | author-link=J. L. Alperin |author2=Rowen B. Bell  | title = Groups and representations | publisher = [[Springer-Verlag]] | year = 1995 | isbn = 0-387-94526-1 | pages = 136 }}
* {{Cite book | last=Anderson | first=Frank Wylie |author2=Kent R. Fuller  | title=Rings and Categories of Modules | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0-387-97845-1 | year=1992}}

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[[Category:加群論]]
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