加群の長さのソースを表示

{{Expand English|Length of a module|date=2024年5月}}
[[抽象代数学]]において、[[環上の加群|加群]]の'''長さ''' (length) は加群の「大きさ」の尺度である。それは[[部分加群]]の最長の鎖の長さと定義され、[[ベクトル空間]]の[[次元 (線型代数学)|次元]]の概念の一般化である。''有限''の長さをもつ加群は有限次元ベクトル空間と多くの重要な性質を共有する。

環と加群の理論において「大きさを測る」ために使われる他の概念は[[深さ (代数学)|深さ]]と[[高さ (環論)|高さ]]である。これらは両方とも定義するのが幾分デリケートである。これらはまた有用な''[[次元]]''のさまざまなアイデアである。長さ有限の可換環は形式的な代数幾何学の関手的扱いにおいて本質的な役割を果たす。

== 定義 ==
''M'' をある[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の（左または右）加群とする。
:<math>N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n</math>
の形の ''M'' の部分加群の鎖が与えられると、''n'' を鎖の''長さ'' (length) という。''M'' の長さはその任意の鎖の最長の長さと定義される。そのような最大の長さが存在しなければ、''M'' の長さは無限であるという。

環 ''R'' が左 ''R'' 加群として有限の長さをもつとき，環として有限の長さをもつという。

== 例 ==
* 零加群は長さ 0 の唯一の加群である。長さ 1 の加群はちょうど[[単純加群]]である。
* すべての有限次元ベクトル空間に対して（基礎[[可換体|体]]上の加群と見て）長さと次元は一致する。
* [[巡回群]] '''Z'''/''n'''''Z''' の長さは（[[整数]]環 '''Z''' 上の加群と見て）''n'' の重複度も込めた[[素数|素]]因数の数に等しい。

== 事実 ==
加群 ''M'' が有限の長さをもつことと[[アルティン加群|アルティン]]かつ[[ネーター加群|ネーター]]であることは同値である。 

''M'' が有限の長さをもち ''N'' が ''M'' の部分加群であれば、''N'' もまた有限の長さをもち、length(''N'') ≤ length(''M'') が成り立つ。さらに、''N'' が ''M'' の''真の''部分加群であれば（すなわち ''M'' に等しくなければ）、length(''N'') < length(''M'') である。

加群 ''M''<sub>1</sub> と ''M''<sub>2</sub> が有限の長さをもてば、それらの[[加群の直和|直和]]もそうであり、直和の長さは ''M''<sub>1</sub> と ''M''<sub>2</sub> の長さの和に等しい。

:<math>0\rarr L \rarr M \rarr N \rarr 0</math>
を ''R''-加群の[[短完全列]]とする。このとき ''M'' が有限の長さをもつことと ''L'' と ''N'' が有限の長さもつことは同値であり、
:length(''M'') = length(''L'') + length(''N'')
が成り立つ（この主張は前の 2 つを意味する）。

加群 ''M'' の[[組成列]]は
:<math>0=N_0\subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n=M</math>
の形の鎖であって
:<math>N_{i+1}/N_i \mbox{ is simple for }i=0,\dots,n-1</math>
であるようなものである。すべての長さ有限の加群 ''M'' は組成列をもち、すべてのそのような組成列の長さは ''M'' の長さに等しい。

== 関連項目 ==
* [[ヒルベルト–ポアンカレ級数]]

== 参考文献 ==
*Steven H. Weintraub, ''Representation Theory of Finite Groups'' AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6

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[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]