動吸振器のソースを表示

[[File:Tuned mass damper.gif|thumb|振り子型動吸振器の模擬アニメーション<br> 真ん中の黄色の丸：質量体<br> 上部の灰色の線：吊り<br> 下部の緑の足：ダンパ<br> 外側の青の枠：制振対象物]]
[[File:Taipei 101 Tuned Mass Damper.png|thumb|台湾の[[台北101]]に設置されている振り子型動吸振器配置図]]
'''動吸振器'''（どうきゅうしんき、dynamic vibration absorber、DVA）または'''ダイナミックダンパ'''(dynamic damper)とは、[[振動]]する対象物に、補助的な質量体を[[ばね]]などを介して付加することにより、対象物の[[固有振動数]]周辺での[[共振]]現象を抑制する装置のことである<ref name = "機械工学辞典_921"/>。端的には、補助質量体が対象物の振動を肩代わりして振動することで、対象物が振動しないようにする装置である<ref name = "振動工学_142"/>。

振動抑制技術のうち最も基本的なものの一つであり、[[機械]]をはじめ[[建築]]、[[土木]]などの分野でも用いられる。'''同調質量ダンパ'''（チューンドマスダンパ、Tuned Mass Damper、TMD）や'''質量ダンパ'''（マスダンパ、Mass Damper）などとも呼ばれる。

[[1883年]]にP・ワッツ(P. Watts)に考案され<ref name = "Liu 2010_120"/>、1909年にハーマン・フラーム(Hermann Frahm)により最初に特許出願された<ref name = "浅見1995_915"/>。

== 概要 ==
機械や建造物に振動が発生するとき、多くの場合で振動が害をなすので振動を抑制したい。特に、振動を発生させる力の振動数と対象物の[[固有振動数]]が近い場合、[[共振]]が発生して大きな振動が発生する（[[強制振動]]なども参照）。これを避けるためには対象物の固有振動数を変更するなどの適切な振動特性を対象物に与える必要がある。しかし実際の機械や建造物の設計では、種々の制約条件により対象物自体の特性を都合良く変更することができないことも多い。このようなときに、対象物に補助的な質量体を取り付け、この質量体に対象物の振動を吸収させて代わりに振動させることで対象物の振動抑制を図るのが動吸振器である。建造物における設計思想の「[[耐震]]」・「[[制振]]」・「[[免震]]」の内、「制振」に分類される装置に該当する<ref>{{Cite web|和書|url= http://www.nikken.co.jp/ja/solution/ndvukb00000040x2.html |title=耐震構造・制振構造・免震構造 |accessdate=2014-05-05 |publisher= 日建設計}}</ref>。

== 基礎理論 ==
=== 非減衰動吸振器 ===
[[File:Mass-spring 2 body system, a main mass subjected to a vibratory force, (tuned mass damper).png|thumb|250px|主系・従系[[ばね]]のみの最も単純なモデル、主系が加振力''f''(''t'')を受ける場合。図中において、''k''は[[ばね定数]]、''m''は質量、''x''はばねの自然長（つり合いの位置）からの変位、''t''は時刻をそれぞれ表す変数、m、aは主系、従系を表す添え字である。]]

最も単純な減衰の無い2[[自由度]]系の線形ばね質量系について考える。[[ばね]]''k''<sub>m</sub>で支えられた質量''m''<sub>m</sub>からなる主系（制振対象）に、ばね''k''<sub>a</sub>と質量''m''<sub>a</sub>からなる従系（動吸振器）が取り付けられたモデルが、動吸振器の最も単純なモデルとなる。このモデルでは、2つの質量は質点（ある一点に質量が集中している）とし、ばねの重さは考えない。質点''m''<sub>m</sub>、''m''<sub>a</sub>の変位（ばね''k''<sub>m</sub>、''k''<sub>a</sub>がともにつり合っている位置からの移動量）をそれぞれ''x''<sub>m</sub>、''x''<sub>a</sub>と表すこととし、時刻を''t''とおくと、主系が力振幅''f''<sub>0</sub>、角振動数''Ω''の[[調和振動]]形の加振力を受けるとき、運動方程式は以下のようになる<ref name = "機械振動学_86"/>。

:<math> m_m \ddot x_m + k_m x_m +k_a (x_m - x_a) = f_0 \cos(\Omega t) </math>
:<math> m_a \ddot x_a + k_a (x_a - x_m) = 0 </math>

この系全体としての固有振動数''ω''<sub>1</sub>、''ω''<sub>2</sub>は次のように求まる。
:<math> \dbinom{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{ \frac{ \omega_m^2 + (\mu + 1) \omega_a^2 \mp \sqrt{ \left[ \omega_m^2 + (\mu - 1) \omega_a^2 \right]^2 + 4\mu \omega_a^4 } }{2} }</math>
ここで、
:<math> \omega_a = \sqrt{ \frac{k_a}{m_a} },\qquad \omega_m = \sqrt{ \frac{k_m}{m_m} },\qquad \mu = \frac{m_a}{m_m} </math>
である。このとき各質点の振幅倍率は以下のように得られる。
:<math> \frac{X_m}{x_{st}} = \frac{\omega_m^2 (\omega_a^2 - \Omega^2)}{(\omega_1^2 - \Omega^2)(\omega_2^2 - \Omega^2)} </math>
:<math> \frac{X_a}{x_{st}} = \frac{\omega_m^2 \omega_a^2}{(\omega_1^2 - \Omega^2)(\omega_2^2 - \Omega^2)} </math>

[[File:Amplitude magnification factor resonance curve (dynamic vibration absorber without damping).png|thumb|450px|非減衰主系非減衰動吸振器の共振曲線、質量比を変化させた場合<br>縦軸：主系の振幅倍率の絶対値、横軸：加振力振動数・従系単体固有振動数比]]

ここで、''X''<sub>m</sub>/''x''<sub>st</sub>の式に注目すると、''ω''<sub>a</sub> = ''Ω''のとき、''X''<sub>m</sub>/''x''<sub>st</sub> = 0となる。すなわち加振力の振動数''Ω''が既知のとき、動吸振器の単体固有角振動数''ω''<sub>a</sub>を''Ω''と一致させるように設計することで、主系の振動を完全に消失させることができる<ref name = "機械振動学_86"/>。このような手法を'''同調'''(tuning)とよぶ<ref name = "機械振動学_86"/>。このように補助質量体に主系の振動を吸収させるが動吸振器の基本原理である。このように、連結された振動系で1つの振動系の振動が極小になることを{{仮リンク|反共振|en|Antiresonance}}とよぶ。

また、''ω''<sub>a</sub> = ''Ω''のときの従系質量体の振動変位の解<ref name = "機械振動学_86"/>は、
:<math> x_a = \frac{f_0}{k_a} \cos (\Omega t + \pi) </math>
となり、振幅''f''<sub>0</sub> / ''k''<sub>a</sub>で、[[位相]]は加振力と180°ずれて振動する。さらに、このときの従系質量体がばねを通じて主系質量体へ及ぼす力''F''<sub>a</sub>は、''x''<sub>m</sub> = 0なので、
:<math> F_a = - k_a (x_m - x_a) = f_0 \cos (\Omega t + \pi) = -f_0 \cos (\Omega t) </math>
となり、加振力を完全に打ち消すような力が、従系から主系へ加わっていることがわかる<ref name = "振動工学_143"/>。

以上のように、理論上は''ω''<sub>a</sub>を''Ω''と一致させるように設計すれば主系の振動を0にできるが、実際には''Ω''が一定値に限定できる場合は少ない。共振曲線を見ると、''Ω''/''ω''<sub>a</sub>=1の反共振点のすぐそばに''ω''<sub>1</sub>、''ω''<sub>2</sub>による共振点が存在する。すなわち、''Ω''が反共振点から変動すると振幅はすぐに大きくなる傾向がある。一方、主系・従系質量比''μ'' = ''m''<sub>a</sub>/''m''<sub>m</sub>に注目すると、''μ''が大きいほど（=従系質量が主系質量に近いほど）、反共振点から離れても振幅倍率の立ち上がりが緩やかである。振動抑制の観点からは、このように主系・従系質量比を大きく取る方が都合が良いが、実際の設計ではそのような大きな動吸振器を付けることは通常は制約がある<ref name = "機械振動学_87"/>。このような欠点を解決するため、下記の減衰付動吸振器が有用となる。

=== 減衰付動吸振器 ===
[[File:Mass-spring-damper 2 body system, a main mass without damper, subjected to a vibratory force, (tuned mass damper).png|thumb|250px|主系ばねのみ、従系ばね・減衰有りのモデル、主系が加振力''f''(''t'')を受ける場合。図中において、''k''はばね定数、''c''は減衰定数、''m''は質量、''x''はばねの自然長（つり合いの位置）からの変位、''t''は時刻をそれぞれ表す変数、m、aは主系、従系を表す添え字である。]]
減衰の無いモデルの動吸振器では、加振力の振動数と動吸振器の単体固有角振動数が一致または狭い範囲で近くないと効果を発揮できない。減衰のある動吸振器では、比較的広い範囲に加振力の振動数が変動する場合でも、主系の振動を吸収することが可能となる。1909年にフラームにより考案された動吸振器は減衰が無い単純なものであった<ref name = "浅見1995_915"/>。その後に研究が進み、1928年、J・オーモンドロイド(J. Ormondroyd)とデン・ハートッグ([[:en:Jacob Pieter Den Hartog]])により減衰付きの動吸振器の基礎理論が与えられた<ref name = "浅見1995_915"/>。

ばね''k''<sub>m</sub>で支えられた質量''m''<sub>m</sub>からなる主系（制振対象）に、ばね''k''<sub>a</sub>、減衰器''c''<sub>a</sub>と質量''m''<sub>a</sub>からなる従系（動吸振器）が取り付けられたモデルを考える。減衰器がないモデルと同様に、各質点の変位を''x''、時刻を''t''とおくと、この運動方程式は以下のようになる<ref name = "機械振動学_89"/>。

:<math> m_m \ddot x_m + k_m x_m + c_a(\dot x_m - \dot x_a) +k_a (x_m - x_a) = f_0 e^{i \Omega t} </math>
:<math> m_a \ddot x_a + c_a(\dot x_a - \dot x_m) + k_a (x_a - x_m) = 0 </math>

この運動方程式より、主系の変位倍率は次のように求まる<ref name = "機械振動学_89"/>。
:<math> \left| \frac{X_m}{x_{st}} \right\vert = \sqrt{ \frac{ (\alpha^2 - \beta^2)^2 + (2 \zeta_a \alpha \beta)^2}{ \left[ (\alpha^2 - \beta^2)(1 - \beta^2) - \mu \alpha^2 \beta^2 \right]^2 + (2 \zeta_a \alpha \beta)^2 (1-\beta^2 - \mu \beta^2)^2 }} </math>

ここで、
:<math> \omega_a = \sqrt{ \frac{k_a}{m_a} },\ \omega_m = \sqrt{ \frac{k_m}{m_m} },\ \mu = \frac{m_a}{m_m},\ \alpha = \frac{\omega_a}{\omega_m},\ \beta = \frac{\Omega}{\omega_m},\ c_{ca} = 2\sqrt{m_a k_a},\ \zeta_a = \frac{c_a}{c_{ca}},\ x_{st} = \frac{f_0}{k_m} </math>
である。

減衰比''ζ''<sub>a</sub>を変化させていくと、''ζ''<sub>a</sub> → 0のときは、上記の非減衰モデルに一致し、''ζ''<sub>a</sub> → ∞のときは、主系と従系は一体にふるまい、質量''m'' = ''m''<sub>a</sub> + ''m''<sub>m</sub>、[[ばね定数]]''k'' = ''k''<sub>m</sub>の1自由度系のモデルに一致する<ref name = "振動のダンピング技術_53"/>。すなわち、''ζ''<sub>a</sub> → 0でも、''ζ''<sub>a</sub> → ∞でも、共振点で振幅が無限大に発散することになる<ref name = "振動工学_150"/>。よって減衰を付与する場合、単純に大きな減衰を与えれば振動を低減できるというわけではなく、大き過ぎない小さ過ぎない、最適な減衰の値を与える必要がある<ref name = "振動工学_150"/>。そのための設計手法として、下記の定点理論と最小分散規範などがある。

==== 定点理論 ====
[[File:Amplitude magnification factor resonance curve (dynamic vibration absorber with damping).png|thumb|450px|非減衰主系減衰付動吸振器の共振曲線<br>縦軸：主系の振幅倍率、横軸：加振力振動数・主系単体固有振動数比<br>減衰比の変化にかかわらず定点（P、Q）が存在する]]
[[File:Fixed-points theory of dynamic vibration absorber.png|thumb|450px|ブロックらの定点理論による最適結果の例]]
今、従系（動吸振器）の減衰特性を変化させていくことにより、主系の変位倍率がそれに連れてどのように変化するかに注目する。主系と従系の質量比''μ''、主系と従系の単体固有角振動数比''α''を固定し、従系の減衰比''ζ''<sub>a</sub>を変化させて変位倍率''X''<sub>m</sub>/''x''<sub>st</sub>の変化を見ると、ある2つの主系単体固有角振動数と加振力振動数の比βの値で、ζ<sub>a</sub>に無関係に''X''<sub>m</sub>/''x''<sub>st</sub>の値が定まる2つの点（P、Q）がある。これらの点を定点(fixed point)と呼ぶ<ref name = "機械振動学_89"/>。''β''の代わりに''Ω''/ω<sub>a</sub>の値で変化を見たときも同様である<ref name = "振動のダンピング技術_53"/>。

減衰の無い動吸振器では、加振力の振動数と動吸振器の単体固有角振動数が一致または狭い範囲で近くないと効果を発揮できないので、減衰を付与することで幅広い範囲で振動（振幅倍率）を抑えるようにしたい。上記の定点が存在する性質を利用して動吸振器特性の最適化を図るのが、動吸振器の'''定点理論'''である。定点理論は、1932年のエーリッヒ・ハンカム (Erich Hahnkamm)の研究に始まり、1946年にJ・E・ブロック(J. E. Brock)によってほぼ完成された<ref name = "浅見1995_915"/>。振幅倍率の共振曲線が全体的に低く抑えられるような曲線になればよいので、次の2つの条件を満たせば、そのような曲線が得られることが予想される<ref name = "振動のダンピング技術_53"/>。

#共振曲線で、2つの定点が同じ値を取る。
#共振曲線で、2つの定点が極大値を取る。

後者の操作は定点を共振点と一致させることと同義でもある。具体的には、主系と従系の質量比''μ''より以下のような最適値が求まる<ref name = "振動のダンピング技術_54"/>。

:<math> \alpha_{opt} = \frac{1}{1+\mu} </math>（条件1より）
:<math> \zeta_{a\ opt} = \sqrt{ \frac{3\mu}{8(1+\mu)} } </math>（条件2より）

以上のような、最適な主系・従系質量比''α''<sub>opt</sub>を求めることを'''最適同調'''、最適な従系減衰比''ζ''<sub>a opt</sub>を求めることを'''最適減衰'''とよぶ<ref name = "浅見1993_2964"/>。最適同調の式はエーリッヒ・ハンカムにより導出され、最適減衰の式はブロックにより導出された<ref name = "浅見1995_915"/>。

上記の最適減衰の式は厳密解ではなく、平均に基づく近似値である<ref name = "機械振動学_91"/>。ただし''μ'' ≪ 1と見なせる限り、実用上は特に問題ない。誤差が生じる原因は、P点の最適減衰によると、右側の共振点がQ点からわずかにずれ、同様に、Q点の最適減衰では、左側の共振点がP点からずれるためで、定点理論はP点、Q点での最適減衰を平均化して結果としている。西原らの厳密解との比較によると、''μ'' = 0.1のとき相対差0.023%、''μ'' = 1のとき相対差0.5%、''μ'' = 10のとき相対差2.3%である<ref name = "西原1997_3443"/>。西原らによる最適減衰の厳密解を以下に示す<ref name = "西原1997_3441"/>。

:<math> z_{opt} = \sqrt{ \frac{ \alpha_{opt}^2(1 - r_{opt}) \left[ r_{opt} - (1 + \mu) \alpha_{opt}^2 \right] }{ 2 r_{opt} \left[ (1+\mu)^2 \alpha_{opt}^2 - r_{opt} \right] } } </math>
:<math> \alpha_{opt} = \sqrt{ \frac{ r_{opt} (1+ \sqrt{4+3\mu}) }{3(1+\mu)^2} } </math>
ここで、
:<math>z=\frac{c_a}{2\mu \sqrt{m_m k_m}}=\alpha \zeta_a</math>
:<math> r_{opt} = \frac{8 \left[ (4+3\mu)^{3/2}-\mu \right] }{ 64+80\mu+27\mu^2 } </math>

==== 最小分散規範 ====
[[File:Fixed-points theory and variance minimization (dynamic vibration absorber).png|thumb|450px|最小分散規範（赤）と定点理論（青）の比較例<br>定点理論の方が最大値は低いが、最小分散規範の方が全体的に倍率が低い]]
非常に不規則な励振を受けるなどの場合は、特定の励振周波数近辺よりも、すべての周波数域で振動が最少となるように設計した方がよい<ref name = "振動のダンピング技術_54"/>。このような設計手法として、'''最小分散規範'''と呼ばれる最適化法がある。最小分散規範は、1963年にステファン・H・クランドル(Stephen H. Crandall)とウィリアム・D・マーク(William D. Mark)により発表された
<ref>{{Cite book |author = Stephen H. Crandall |coauthor = William D. Mark |year = 1963 |title = Random vibration in mechanical systems |publisher = New York : Academic Press |url = http://catalog.hathitrust.org/Record/001512439 |isbn =9780121967505 }}</ref>。

最小分散規範では、伝達される振動エネルギーに注目して、これが最少となるように設計する。すなわち、共振曲線を積分して得られる面積二乗値が最少となるようにする<ref name = "振動のダンピング技術_54"/>。具体的には、主系の基礎部が[[ホワイトノイズ]]ランダム振動を行う場合は、主系と従系の質量比''μ''より以下のような最適値が求まる<ref name = "振動のダンピング技術_55"/>。

:<math> \alpha_{opt} = \frac{1}{1+\mu} \sqrt{ \frac{2+\mu}{2} } </math>
:<math> \zeta_{a\ opt} = \sqrt{ \frac{\mu (4+3\mu)}{8(1+\mu)(2+\mu)} } </math>

上記の通り、定点理論と異なり2つの共振点の高さは一致せず、常に曲線上左側（周波数が低い側）の共振点が、曲線上右側（周波数が高い側）の共振点よりも大きくなる特徴がある<ref name = "浅見1993_2962"/>。

=== 減衰付主系・減衰付動吸振器 ===
{{Double image aside|center|Mass-spring-damper 2 body system, a main mass subjected to a vibratory force, (tuned mass damper).png|250|Mass-spring-damper 2 body system, a base subjected to a vibratory displacement, (tuned mass damper).png|250|主系、従系ともにばね・減衰有りのモデル、主系が加振力を受ける場合|主系、従系ともにばね・減衰有りのモデル、基礎が振動変位する場合}}

より一般的な、主系にも減衰がある場合を考える。ばね''k''<sub>m</sub>、減衰器''c''<sub>m</sub>で基礎に支えられた質量''m''<sub>m</sub>からなる主系（制振対象）に、ばね''k''<sub>a</sub>、減衰器''c''<sub>a</sub>と質量''m''<sub>a</sub>からなる従系（動吸振器）が取り付けられたモデルの運動方程式は、主系に対して力励振''f''(''t'')が加わる場合と基礎に対して変位励振''x''<sub>0</sub>(''t'')が発生する場合、それぞれで以下のようになる。

主系に対して力励振''f''(''t'')が加わる場合：
:<math> m_m \ddot x_m + c_m \dot x_m + k_m x_m + c_a(\dot x_m - \dot x_a) +k_a (x_m - x_a) = f(t) </math>
:<math> m_a \ddot x_a + c_a(\dot x_a - \dot x_m) + k_a (x_a - x_m) = 0 </math>

基礎に対して変位励振''x''<sub>0</sub>(''t'')が発生する場合：
:<math> m_m \ddot x_m + c_m (\dot x_m - \dot x_0(t)) + k_m (x_m - x_0(t)) + c_a(\dot x_m - \dot x_a) +k_a (x_m - x_a) = 0 </math>
:<math> m_a \ddot x_a + c_a(\dot x_a - \dot x_m) + k_a (x_a - x_m) = 0 </math>

主系に対して力励振''f'' = ''f''<sub>0</sub>sin(''Ωt'')が加わる場合は、主系の変位倍率は次のように求まる<ref name = "Liu 2010_122"/>。
:<math> \left| \frac{X_m}{x_{st}} \right\vert = \sqrt{ \frac{ (\alpha^2 - \beta^2)^2 + (2 \zeta_a \alpha \beta)^2}{A^2 + 4 B^2 }} </math>
:<math> A = \beta^4 - \left\{ (\mu+1)\alpha^2 + 4 \zeta_a \zeta_m \alpha +1 \right\} \beta^2 + \alpha^2 </math>
:<math> B = - \left\{ \zeta_m + (\mu+1)\zeta_a \alpha \right\} \beta^3 + (\zeta_m \alpha + \zeta_a)\alpha \beta </math>
ここで、
:<math> \omega_a = \sqrt{ \frac{k_a}{m_a} },\ \omega_m = \sqrt{ \frac{k_m}{m_m} },\ \mu = \frac{m_a}{m_m},\ \alpha = \frac{\omega_a}{\omega_m},\ \beta = \frac{\Omega}{\omega_m} </math>
:<math> c_{ca} = 2\sqrt{m_a k_a},\ c_{cm} = 2\sqrt{m_m k_m},\ \zeta_a = \frac{c_a}{c_{ca}},\ \zeta_m = \frac{c_m}{c_{cm}},\ x_{st} = \frac{f_0}{k_m} </math>
である。''ζ''<sub>m</sub> → 0のとき、上記の主系に減衰無しの場合の変位倍率と一致する。

一般に、主系に減衰要素が存在する場合は動吸振器の最適パラメータ（''α''<sub>opt</sub>、''ζ''<sub>a opt</sub>）の厳密解を得ることはできない<ref name = "振動のダンピング技術_55"/>。また、主系に減衰が存在する場合は共振曲線上の定点が存在しなくなる<ref name = "浅見1995_916"/>。このようなモデルの最適パラメータは[[数値解析]]により最適値を得る必要があり、多くの研究が行われてきている<ref name = "Liu 2010_120"/>。

==== 近似式 ====
数値解析結果をもとにした、浅見らによる最適パラメータを求める近似式を以下に示す<ref name = "浅見1993_2965"/><ref name = "浅見1995_919"/>。主系の減衰比''ζ''<sub>m</sub> < 0.1程度の範囲まで実用的には十分な精度がある<ref name = "浅見1993_2967"/><ref name = "浅見1995_920"/>。減衰付主系のモデルでは定点は存在しないので、ここでいう定点理論による最適値とは、共振点の高さを等しくすることによる最適値という意味である<ref name = "浅見1995_916"/>。

ここで、
:<math> \omega_a = \sqrt{ \frac{k_a}{m_a} },\ \omega_m = \sqrt{ \frac{k_m}{m_m} },\ \mu = \frac{m_a}{m_m},\ \alpha = \frac{\omega_a}{\omega_m}</math>
:<math> \ c_{ca} = 2\sqrt{m_a k_a},\ \zeta_a = \frac{c_a}{c_{ca}},\ c_{cm} = 2\sqrt{m_m k_m},\ \zeta_m = \frac{c_m}{c_{cm}}</math>
とすれば、

'''最小分散規範による最適値：'''<ref name = "浅見1993_2965"/>
*主系力加振系（ホワイトノイズ型不規則振動）
:<math>
\begin{alignat}{3}
 \alpha_{opt} = & \frac{1}{1+\mu} \sqrt{1+\frac{\mu}{2}}-\zeta_m(4+\mu)\sqrt{\frac{\mu}{8(1+\mu)^3(2+\mu)(4+3\mu)}} \\
& +\zeta_m^2 \frac{ \mu(192+304\mu+132\mu^2+13\mu^3) }{ 8(1+\mu)^2(4+3\mu)^2\sqrt{2(2+\mu)^3} } \\
& -\zeta_m^3 \frac{ b_1}{16} \sqrt{ \frac{\mu^3}{2(1+\mu)^5(2+\mu)^5(4+3\mu)^7} } \\
\end{alignat}
</math>
:<math>
\begin{alignat}{3}
 \zeta_{a\ opt} = & \sqrt{ \frac{ \mu(4+3\mu) }{ 8(1+\mu)(2+\mu) } } - \zeta_m \frac{ \mu^3 }{ 4(1+\mu)(4+3\mu)\sqrt{2(2+\mu)^3} } \\
& + \zeta_m^2 \frac{ -64-80\mu+15\mu^3 }{32} \sqrt{ \frac{2\mu^5}{ (1+\mu)^3(2+\mu)^5(4+3\mu)^5 } } \\
& + \zeta_m^3 \frac{ \mu^3 b_2 }{ 32(1+\mu)^2(4+3\mu)^4 \sqrt{2(2+\mu)^7}} \\
\end{alignat}
</math>
ただし、
:<math> b_1 = 4096+13056\mu+15360\mu^2+8080\mu^3+1780\mu^4+101\mu^5 </math>
:<math> b_2 = 2048+6912\mu+8064\mu^2+3616\mu^3+288\mu^4-125\mu^5 </math>

*基礎変位加振系（ホワイトノイズ型不規則振動）
:<math>
\begin{alignat}{3}
 \alpha_{opt} = & \frac{1}{1+\mu} \sqrt{1+\frac{\mu}{2}}-\zeta_m(4+\mu)\sqrt{\frac{\mu}{8(1+\mu)^3(2+\mu)(4+3\mu)}} \\
& +\zeta_m^2 \frac{ \mu(704+1328\mu+804\mu^2+157\mu^3) }{ 8(1+\mu)^2(4+3\mu)^2\sqrt{2(2+\mu)^3} } \\
& +\zeta_m^3 \frac{ b_1}{16} \sqrt{ \frac{\mu}{2(1+\mu)^5(2+\mu)^5(4+3\mu)^7} } \\
\end{alignat}
</math>
:<math>
\begin{alignat}{3}
 \zeta_{a\ opt} = & \sqrt{ \frac{ \mu(4+3\mu) }{ 8(1+\mu)(2+\mu) } } - \zeta_m \frac{ \mu^3 }{ 4(1+\mu)(4+3\mu)\sqrt{2(2+\mu)^3} } \\
& + \zeta_m^2 \frac{ 4096+13760\mu+18608\mu^2+12640\mu^3+4287\mu^4+576\mu^5 }{32} \sqrt{ \frac{2\mu^3}{ (1+\mu)^3(2+\mu)^5(4+3\mu)^5 } } \\
& + \zeta_m^3 \frac{ \mu^3 b_2 }{ 32(1+\mu)^2(4+3\mu)^4 \sqrt{2(2+\mu)^7}} \\
\end{alignat}
</math>
ただし、
:<math> b_1 = 65536+241664\mu+369920\mu^2+305664\mu^3+148720\mu^4+43500\mu^5+7339\mu^6+576\mu^7 </math>
:<math> b_2 = 524288+2818048\mu+6621184\mu^2+8864512\mu^3+7377280\mu^4+3896224\mu^5+1271168\mu^6+233491\mu^7+18432\mu^8 </math>


'''定点理論による最適値：'''<ref name = "浅見1995_919"/>
*主系力加振系（調和振動）
:<math>
\begin{alignat}{2}
 \alpha_{opt} = & \frac{1}{1+\mu} - \zeta_m \frac{1}{1+\mu}\sqrt{\frac{1}{2(1+\mu)} \left( 3+4\mu-\frac{\sqrt{2(2+\mu)(9+4\mu)}}{2+\mu} \right) } \\
& +\zeta_m^2 \frac{b_0-4(5+2\mu)\sqrt{2(2+\mu)(9+4\mu)}}{4(1+\mu)^2(2+\mu)(9+4\mu)} \\
\end{alignat}
</math>
:<math>
\begin{alignat}{2}
 \zeta_{a\ opt} = & \sqrt{ \frac{3\mu}{8(1+\mu)} } + \zeta_m \frac{ 60+63\mu+16\mu^2-2(3+2\mu)\sqrt{2(2+\mu)(9+4\mu)} }{ 8(1+\mu)(2+\mu)(9+4\mu) } \\
& + \zeta_m^2 \frac{ b_1 (A + B )\sqrt{2+\mu}+ b_2 (A - B )\sqrt{\mu} }{ 32(1+\mu)(9+4\mu)\sqrt{\mu(2+\mu)} } \\
\end{alignat}
</math>
:<math>A=\sqrt{3(2+\mu)-\sqrt{\mu(2+\mu)}}</math>
:<math>B=\sqrt{3(2+\mu)+\sqrt{\mu(2+\mu)}}</math>
ただし、
:<math> b_0 = 52+41\mu+8\mu^2 </math>
:<math> b_1 = -1296+2124\mu+6509\mu^2+5024\mu^3+1616\mu^4+192\mu^5 </math>
:<math> b_2 = 48168+112887\mu+105907\mu^2+49664\mu^3+11632\mu^4+1088\mu^5 </math>

*基礎変位加振系（調和振動）
''α''<sub>opt</sub>と''ζ''<sub>a opt</sub>の式は、上記の主系力加振系と同形式である。ただし係数は以下のように変わる。
:<math> b_0 = 52+113\mu+76\mu^2+16\mu^3 </math>
:<math> b_1 = -1296+2124\mu+7157\mu^2+5924\mu^3+2032\mu^4+256\mu^5 </math>
:<math> b_2 = 48168+105111\mu+91867\mu^2+40172\mu^3+8784\mu^4+768\mu^5 </math>

== 動吸振器の種類 ==
[[File:Infinity Bridge tuned mass damper on small arch-1632.jpg|thumb|200px|イングランド、[[ストックトン＝オン＝ティーズ]]のインフィニティ橋([[:en:Infinity Bridge]])に設置されている同調質量ダンパ]]
[[File:London Millennium Bridge - Damper beneath deck, north side - 240404.jpg|thumb|200px|[[ミレニアム・ブリッジ (ロンドン)]]に設置されている同調質量ダンパ]]
[[File:Tuned Mass Damper atop Taipei 101 - 27 March 2008.jpg|thumb|200px|台湾の台北101に設置されている振り子型同調質量ダンパ]]

以下に、派生形も含めた動吸振器の種類を示す。ここでは、補助質量体により対象物の振動を抑制・吸収する装置を動吸振器の定義としているが、ばねのような復元力要素を持つもののみを動吸振器に分ける場合もある<ref name = "制振工学ハンドブック_75"/>。

=== 同調質量ダンパ ===
固体質量体を用いた最も基本的な動吸振器で、上記で基本原理を説明しているものと同じである。動吸振器と同義の場合もあるが、'''同調質量ダンパ'''、'''チューンドマスダンパ''' ([[:en:Tuned mass damper]]、TMD) 、'''質量ダンパ'''、'''マスダンパ''' (Mass Damper) などと呼ばれる。特に[[土木]]・[[建築]]分野ではこちらの名称で呼ばれる<ref name = "動吸振器とその応用_1" />。ばねの代わりに[[振り子]]や倒立振子機構にすることで復元力を得るもの、従系質量体を1つと限らずに複数備えるもの、振動方向が上下あるいは水平に対応するものなどがある。

建築分野では、[[超高層建築物]]に対して風による揺れが問題になることから制振装置として採用される<ref name="動吸振器とその応用_222" />。世界で最初期に同調質量ダンパが導入されたのは、[[アメリカ]]の[[シティコープ・センター|シティグループ・センター]]と[[ジョン・ハンコック・センター]]で、どちらも[[構造エンジニア]]のウィリアム・ルメジャー ([[:en:William LeMessurier]]) の設計によるものである<ref name="Introduction to Structural Motion Control_222-223" />。

2007年現在において、世界で最重量の同調質量ダンパは、台湾の[[台北101]]に設置されている730tonの振り子型同調質量ダンパである<ref>{{Cite web|author=Ioannis Kourakis|year=2007|title=Structural systems and tuned mass dampers of super-tall buildings : case study of Taipei 101|publisher=Massachusetts Institute of Technology|page=43|url=https://hdl.handle.net/1721.1/38947|accessdate=2014-05-11}}</ref>。
日本では、[[千葉ポートタワー]]のものが高層建築物に対する初の採用である<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.nikken.co.jp/ja/projects/T580704.html|title=作品：千葉ポートタワー|accessdate=2014-05-06|publisher=日建設計}}</ref>。

自動車にも採用されており、2006年の[[フォーミュラ1]]では、エアロダイナミクスの効果を高めるために車体の前端にマスダンパを装備して車体の安定性を向上させた[[フォーミュラ1カー]]が使用された<ref>{{Cite web |url=http://www.formula1.com/news/technical/2006/762/311.html|title=Renault R26 - mass damper system|accessdate=2014-05-13|publisher=Formula One Management Limited}}</ref>。[[ルノー・R26]]なども参照。

=== 同調液体ダンパ（スロッシングダンパ）===
'''同調液体ダンパ'''、あるいは'''スロッシングダンパ'''(tuned sloshing damper)とは、液体の[[スロッシング]]現象を利用して振動を抑制するもので、建物などの制振に利用される。スロッシングの固有振動数と建物の固有振動数を同調させることで効果を発揮する。スロッシングの固有振動数の固有振動数は、液体を入れる水槽の大きさ、水深などにより決定される。日本では、神奈川県横浜市の[[新横浜プリンスホテル]]、北海道函館市の[[五稜郭タワー]]などで利用されている<ref>{{Cite web|和書|url= http://www.shimz.co.jp/tw/tech_sheet/rn0148/rn0148.html |title=スーパー・スロッシング・ダンパー製品紹介ページ |accessdate=2014-05-05 |publisher= 清水建設}}</ref>。

=== フードダンパ===
'''フードダンパ'''(houdaille damper, houde damper)とは、質量と減衰器からなる動吸振器で、通常のものからばね要素を無くした構造が特徴である<ref name = "機械工学辞典_1125"/>。ばねが無く固有振動数が存在しないため同調の必要がない利点がある。ただし、同調型の動吸振器よりも振動抑制の効果は小さい<ref name = "振動のダンピング技術_219"/>。回転機械のねじり振動の防止<ref name = "機械工学辞典_1125"/>、プラント配管の振動抑制<ref name = "振動のダンピング技術_219"/>などに使用されている<ref name = "振動工学_152"/>。元々は、下記のランチェスタダンパと同様、往復内燃機関クランクシャフト用のねじり振動低減用として考案されたものである<ref name = "振動工学_152"/>。

=== ランチェスターダンパ（摩擦ダンパ） ===
'''ランチェスターダンパ'''(Lanchester damper)とは、フードダンパにおける減衰要素を摩擦要素で置き換えたもの<ref name = "機械工学辞典_1350"/>。元々は[[フレデリック・ランチェスター]]により[[レシプロエンジン#内燃機関のレシプロエンジン|往復内燃機関]]の[[クランクシャフト]]用として発明されたもので、ランチェスターダンパとはそのような構造・用途に限って意味する場合もある<ref name = "機械振動学_95"/>。そのため単に'''摩擦ダンパ'''などとも呼ぶ<ref name = "機械振動学_93"/><ref name = "動吸振器とその応用_5"/>。

=== インパクトダンパ（衝撃ダンパ）===
'''インパクトダンパ'''(impact damper)とは、制振対象に衝突体を入れた容器を取り付け、さらに容器内の振動方向に隙間を設けることで、対象物振動時に[[衝突]]が発生して対象物の振動を抑制するものである<ref name = "機械工学辞典_66"/><ref name = "制振工学ハンドブック_75"/>。原理的には、対象物の[[運動量]]を衝突により補助質量体へ移動させて対象物の運動を抑制し、移った補助質量体の運動量は摩擦などで散逸させる仕組みを取る<ref name = "制振工学ハンドブック_81"/>。補助質量体である衝突体には多数の球体など利用する場合が多い<ref name = "動吸振器とその応用_5"/>。

動力付き自動車模型の[[ミニ四駆]]では、コースアップダウンセクション通過によるジャンプから着地時の車体の上下動安定を目的とした「マスダンパー」と呼ばれる改造部品がある<ref>{{Cite web|和書|url= http://www.tamiya.com/japan/products/product_info_ex.html?products_id=15392 |title=製品情報：GP.392 マスダンパーセット |accessdate=2014-05-13 |publisher= タミヤ}}</ref>。構造的には補助質量体との衝突を原理とするインパクトダンパに近い。

=== アクティブ動吸振器 ===
一般的に指す動吸振器とは受動制振（パッシブ）による振動抑制機構である。すなわち、質量、ばね、減衰器などを取り付けるだけで、制振のために特別にエネルギを外部から入力するようなことは行わない機構である<ref name = "機械振動学_82"/>。受動制振型はコスト的メリットがある一方、制振対象の振動特性が明らかでない場合や変動する場合に十分な振動抑制が発揮できない<ref name = "機械振動学_82"/>。そのため、ばね、減衰器の代わりに[[アクチュエータ]]などを利用して直接的に振動抑制力を与えるのが能動制振型で<ref name = "機械工学辞典_921"/>、'''アクティブ動吸振器'''、'''アクティブマスダンパ'''(active mass damper, AMD)などとよぶ。例えば、質量体を直接アクチュエータで押し引きして建物の振動抑制を図るものなどがある<ref>{{Cite web|和書|url= http://www.takenaka.co.jp/solution/needs/noise/service03/index.html |title=TMD/AMDによる建物の振動対策 |accessdate=2014-05-05 |publisher= 竹中工務店}}</ref>。

アクティブ式の他に、アクチュエータは使用しない代わりに応答状態に応じて動吸振器の減衰特性を変化させるセミアクティブ式や、アクチュエータとばね・ダンパを併用するハイブリッド式などもある<ref>{{Cite web|和書|url= https://www.maeda.co.jp/tech/all/tk0024.html |title=アクティブ制振技術（ハイブリッドマスダンパー：HMD） |accessdate=2014-05-05 |publisher= 前田建設}}</ref><ref name = "機械工学辞典_921"/>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2|refs=
<ref name = "機械工学辞典_66">[[#機械工学辞典|機械工学辞典 p.66]]</ref>
<ref name = "機械工学辞典_921">[[#機械工学辞典|機械工学辞典 p.921]]</ref>
<ref name = "機械工学辞典_1125">[[#機械工学辞典|機械工学辞典 p.1125]]</ref>
<ref name = "機械工学辞典_1350">[[#機械工学辞典|機械工学辞典 p.1350]]</ref>
<ref name = "動吸振器とその応用_1">[[#動吸振器とその応用|動吸振器とその応用 p.1]]</ref>
<ref name = "動吸振器とその応用_5">[[#動吸振器とその応用|動吸振器とその応用 p.5]]</ref>
<ref name = "動吸振器とその応用_222">[[#動吸振器とその応用|動吸振器とその応用 p.222]]</ref>
<ref name = "Introduction to Structural Motion Control_222-223">[[#Introduction to Structural Motion Control|Introduction to Structural Motion Control pp.222-223]]</ref>
<ref name = "機械振動学_82">[[#機械振動学|機械振動学 p.82]]</ref>
<ref name = "機械振動学_86">[[#機械振動学|機械振動学 p.86]]</ref>
<ref name = "機械振動学_87">[[#機械振動学|機械振動学 p.87]]</ref>
<ref name = "機械振動学_89">[[#機械振動学|機械振動学 p.89]]</ref>
<ref name = "機械振動学_91">[[#機械振動学|機械振動学 p.91]]</ref>
<ref name = "機械振動学_93">[[#機械振動学|機械振動学 p.93]]</ref>
<ref name = "機械振動学_95">[[#機械振動学|機械振動学 p.95]]</ref>
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<ref name = "振動工学_150">[[#振動工学|振動工学 p.150]]</ref>
<ref name = "振動工学_152">[[#振動工学|振動工学 p.152]]</ref>
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<ref name = "制振工学ハンドブック_75">[[#制振工学ハンドブック| 制振工学ハンドブック p.75]]</ref>
<ref name = "制振工学ハンドブック_81">[[#制振工学ハンドブック| 制振工学ハンドブック p.81]]</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|editor=日本機械学会 |title=機械工学辞典 |publisher=丸善 |date=2007-01-20 |edition=第2版 |ISBN=978-4-88898-083-8 |ref=機械工学辞典}}
* {{cite book|和書|editor=制振工学ハンドブック編集委員会 |title=制振工学ハンドブック |publisher=コロナ社 |date=2008-05-13 |page= |ISBN=978-4-339-04585-7 |ref=制振工学ハンドブック}}
* {{cite book|和書|editor=日本機械学会 |title=振動のダンピング技術 |publisher=養賢堂 |date=1998-09-01 |edition=第1版 |ISBN=4-8425-9816-6 |ref=振動のダンピング技術}}
*{{cite book|和書|author= 瀬戸一登 |title=動吸振器とその応用 |publisher=コロナ社 |edition=初版 |date=2010-08-20 |isbn=978-4-339-04607-6 |ref=動吸振器とその応用}}
*{{cite book|和書|author= 末岡淳男・金光陽一・近藤孝広 |title=機械振動学 |publisher=朝倉書店 |edition=初版 |date=2002-06-20 |isbn=4-254-23706-5 |ref=機械振動学}}
*{{cite book|和書|author= 前澤成一郎 |title=振動工学 |publisher=森北出版 |edition=第1版 |date=1973-11-20 |ref=振動工学}}
* {{Cite book |author=Jerome J. Connor |title=Introduction to Structural Motion Control |year=2003 |publisher=Prentice Hall |edition=1st |isbn=0-13-009138-3 |ref=Introduction to Structural Motion Control}}
*{{Cite journal|和書 |author=西原修 |coauthor=松久寛 |date=1997-10-25 |title=動吸振器の最大振幅倍率最小化設計 : 代数的な厳密解の導出 |journal=日本機械学会論文集 C編 |volume=63 |issue=614 |pages=3438-3445 |issn=03875024 |naid=130004232443 |url=https://doi.org/10.1299/kikaic.63.3438 |ref=西原1997}}
*{{Cite journal|和書|author=浅見敏彦 |coauthor=桃瀬一成, 細川[ヨシ]延 |date=1993-10-25 |title=主系の減衰を考慮した動吸振器の設計式について : 最小分散規範に基づく設計法 |journal=日本機械学会論文集C編 |volume=59 |issue=566 |pages=2962-2967 |issn=03875024 |naid=110002380702 |url=https://cir.nii.ac.jp/crid/1390001206296893440 |ref =浅見1993}}
*{{Cite journal|和書|author=浅見敏彦 |coauthor=細川[ヨシ]延 |date=1995-03-25 |title=主系の減衰を考慮した動吸振器の設計式について : 第2報,定点理論に基づく設計法 |journal=日本機械学会論文集C編 |volume=61 |issue=583 |pages=915-921 |issn=03875024 |naid=130004231037 |url=https://doi.org/10.1299/kikaic.61.915 |ref=浅見1995}}
*{{Cite journal|author=Kefu Liu |coauthor=Gianmarc Coppola |year=2010 |title=Optimal design of damped dynamic vibration absorber for damped primary systems |journal=Trans. Can. Soc. Mech. Eng. |volume=34 |issue=1 |pages=120-135 |url=http://www.tcsme.org/Papers/Vol34/Vol34No1Paper8.pdf |format=pdf |ref=Liu 2010}}

==関連項目==
{{Commonscat|Tuned mass dampers|同調質量ダンパー}}
* [[振動]]
* [[自由振動]]
* [[強制振動]]
* [[自励振動]]
* [[減衰振動]]
* [[固有振動]]
* [[共振]]
* [[ショックアブソーバー]]
* [[スカイフック理論]]
* [[アクティブサスペンション]]

== 外部リンク ==
*{{機械工学事典|id=13:1009008}}
*{{US patent|989958}}（フラームによる1909年の特許）
* [http://www.ibrain.jp/ssd/ssd_origin_movie.htm 屋上の水槽によるスロッシングダンパーの模式アニメーション]（アイディールブレーン社スーパー・スロッシング・ダンパー製品紹介ページ）
* {{YouTube|XjxOK33CEzo|Tuned Mass Damper}}（Moog CSA Engineering社による同調質量ダンパ説明動画）

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:とうきゆうしんき}}
[[Category:機械要素]]
[[Category:建築構造]]
[[Category:地震学]]
[[Category:振動工学]]