包含写像のソースを表示

[[ファイル:Venn A subset B.svg|150px|thumb|right|''A'' は ''B'' の部分集合であり、''B'' は ''A'' の上位集合である。]]

[[数学]]における'''包含写像'''（ほうがんしゃぞう、{{Lang-en-short|inclusion map、inclusion function}}）または'''標準単射'''（{{Lang-en-short|canonical injection}}）とは、''A'' を ''B'' の[[部分集合]]とするとき、''A'' の各元 ''x'' を ''B'' の元として扱う[[写像]] ''ι'': ''A'' → ''B'', (''ι''(''x'') := ''x'') 
のことを言う<ref>{{harv|Mac Lane|Birkhoff|1967|p=5}}</ref>。

写像の矢印の部分に鉤付き矢印 ↪ を用いることで、''A'' ↪ ''B'' が包含写像であることを意味することがある。

包含写像（およびそれに類する{{仮リンク|部分構造|en|substructure}}からの[[単射]]<ref>{{harv|Chevalley|1956|p=1}}</ref>）はしばしば、'''自然な単射''' （{{Lang-en-short|natural injection}}）とも呼ばれる。

二つの[[圏 (数学)|対象]] ''X'' と ''Y'' の間の任意の[[射 (圏論)|射]] ''f'': ''X'' → ''Y'' が与えられたとき、[[定義域|域]] ''X'' の中への包含写像射 ''ι'': ''A'' → ''X'' が存在するならば、''f'' の[[制限 (数学)|制限]]を射の合成 ''f'' ∘ ''i'' によってつくることができる。多くの例において、''f'' の[[値域]]と呼ばれる[[終域|余域]]への標準的包含射 ''R'' → ''Y'' も構成できる。

== 包含写像の応用 ==

包含写像は[[代数的構造]]の[[準同型|準同型写像]]であることが多い。したがって、そのような包含写像は[[埋め込み (数学)|埋め込み]]である。より正確に、ある演算の下で閉じている部分構造が与えられたとき、包含写像はトートロジカルな理由で埋め込みとなる。例えば、ある二項演算 <math>\star</math> に対して

: <math>\iota(x\star y)=\iota(x)\star \iota(y)</math>

の成立を課すことは、簡単に言うと <math>\star</math> が部分構造および上位構造において矛盾なく計算されるということである。[[単項演算]]の場合も同様である。零項演算（つまり特定の元を取り出す操作）の場合もみておくと、このときの閉性（演算が閉じていること）は、その特定の元が部分構造においてすでに与えられているという意味になる。

包含写像は代数幾何学においても見られる。その場合、{{mvar|A}} が {{math|X}} の[[変位レトラクト|強変位レトラクト]]であるなら、包含写像はすべての次数のホモトピー群の間の同型写像（すなわち、[[ホモトピー|ホモトピー同値]]）である。

[[幾何学]]における包含写像には、異なるいくつかの種類がある。例えば[[部分多様体]]の[[埋め込み (数学)|埋め込み]]である。[[微分形式]]のような反変対象では、部分多様体に「制限」するというある意味反対方向の操作から包含写像が引き起こされる。より高度な他の例として、アフィンスキームがある。その場合、包含

: {{math|Spec(''R''/''I'') → Spec(''R'')}}

および

: {{math|Spec(''R''/''I''<sup>2</sup>) → Spec(''R'')}}

は異なる[[射 (圏論)|射]]となり得る。ここで ''R'' は[[可換環]]で、''I'' は[[イデアル]]である。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|コファイブレーション|en|Cofibration}}
* [[恒等写像]]

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation| first = C. | last = Chevalley | title = Fundamental Concepts of Algebra  | publisher = Academic Press, New York | year = 1956| isbn = 0-12-172050-0}}.
* {{citation| first1 = S. | last1 = Mac Lane | first2 = G. | last2 = Birkhoff  | title = Algebra | publisher = AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island | year = 1967| isbn = 0-8218-1646-2}}.

{{DEFAULTSORT:ほうかんしやそう}}
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[[Category:集合の基本概念]]
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