包絡線のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年5月}}
[[Image:EnvelopeAnim.gif|right|thumb|600px|直線族 {{math|''y'' {{=}} (''t'' &minus; 13)(''x'' &minus; ''t'')/''t''}} とその包絡線である[[放物線]] {{math| (''y'' &minus; ''x'' &minus; 13)<sup>2</sup> {{=}} 52''x''}} {{Sfn|ハイラー|ヴァンナー|2006|loc=II.3 包絡線と曲率}}]]
'''包絡線'''（ほうらくせん、{{lang-en-short|''envelope''}}）とは、与えられた[[曲線]][[族 (数学)|族]]と[[接線]]を共有する曲線、すなわち与えられた（一般には無限個の）全ての曲線たちに接するような曲線のことである。身近なところでは、AMラジオ放送に利用されている[[振幅変調]]の電波信号の包絡線が音声信号である。

包絡線は、次のようにして求められる。[[媒介変数]] ''t'' &isin; '''R''' で添字付けられる ''n'' 次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上の曲線族 {''F''<sub>''t''</sub>(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}<sub>''t''&isin;'''R'''</sub> に対する包絡線は、[[方程式系|連立方程式]]
:<math>
\begin{cases}
  F_t(x_1,\dots,x_n) = 0 \\
  \cfrac{\partial}{\partial t} F_t(x_1,\dots,x_n) = 0
\end{cases}
</math>
から ''t'' を消去して得られる曲線 ''&phi;''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0 に等しい。

== 例 ==
実数の媒介変数 ''t'' で添字付けられる直線の族

:<math>\{L_t\}_{t \in \mathbb{R}}, L_t: y = x \sin t + \cos t
</math>

について考える。これの包絡線を求めるための連立方程式は

:<math>
\begin{cases}
 x \sin t - y + \cos t = 0, \\
 x \cos t - \sin t = 0
\end{cases}
</math>

である。''t'' を消去して、<math>x^2 - y^2 + 1 = 0</math>を得る。これが直線族 {''L''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''&isin;'''R'''</sub> の包絡線である。この場合、包絡線は[[双曲線]]であることがわかる。

== 関連項目 ==
*[[曲線]]
*[[媒介変数]]
*[[包絡線検波]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|last1      = ハイラー
|first1     = E. 
|last2      = ヴァンナー
|first2     = G. 
|translator = [[蟹江幸博]]
|date       = 2006-10
|title      = 解析教程
|edition    = 新装版
|volume     = 上
|publisher  = 丸善出版
|isbn       = 978-4-621-06203-6
|ref        = harv
}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|包絡線}}
*{{MathWorld|title=Envelope|urlname=Envelope}}

{{differential-geometry-stub}}

{{DEFAULTSORT:ほうらくせん}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]