区分線形関数のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年4月}}
[[file:Finite element method 1D illustration1.png|right|thumb|関数（青）とその区分線形近似（赤）]]
[[file:Piecewise linear function2D.svg|right|thumbnail|2次元の区分線形関数（上）とそれが線形となる凸多面体（下）]]
[[数学]]における'''区分的に一次な函数'''あるいは'''区分線形関数'''（くぶんせんけいかんすう、{{lang-en-short|''Piecewise linear function''}}）とは、[[区分的に定義される函数]]で、各区分が[[一次函数]]（線型函数）となっているようなものをいう。

区分的に線型な函数の概念は、いくつか異なる文脈で意味を持つ。区分的に線型な函数
: <math>f\colon \Omega \to V</math>
の定義域 {{math|&Omega;}} としては、{{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]]や、より一般の[[ベクトル空間]]あるいは[[アフィン空間]]をとることもできるし、他にも{{仮リンク|PL多様体|en|Piecewise linear manifold}}や[[単体的複体]]などといったようなものの上でも定義される。いずれの場合にも、[[終域]] {{mvar|V}} は[[実数]]の全体やベクトル空間、アフィン空間であったり、あるいはPL多様体や単体複体に値をとる区分線型函数（区分線型写像）をも考えることができる。なお、この文脈における「線型」は専ら[[線型写像]]の意味で用いられているのではなく、より一般の[[アフィン変換|アフィン線型写像]]の意味にとる必要がある。

次元が 2 以上の場合には、定義域 {{mvar|V}} の各小片 {{mvar|I}} が[[多角形]]や[[多面体]]となるものと仮定することが多く、こうすれば函数のグラフが多角形や多面体の小片の貼り合わせとなることが保証される。

区分的に一次な函数のクラスの重要な部分クラスとして、区分的に線型な[[連続函数]]のクラスや区分線型[[凸函数]]のクラスなどが挙げられる。区分的に線型な実函数が[[連続函数|連続]]ならば、そのグラフは{{仮リンク|折線|en|polygonal curve}}になる。[[スプライン曲線]]は区分的に一次な函数を一般化するもので、区分的に高次の多項式やさらに言えば{{仮リンク|区分的に可微分な函数|en|PDIFF}}を考えるものである。

==例==
{{mvar|f}} が区間 <math>[x_1,x_2]</math> 上の実数値関数である場合には、{{mvar|f}} が区分線形であるための必要十分条件は <math>[x_1,x_2]</math> を有限個の小区間に分割して、各小区間 {{mvar|I}} のうえで {{mvar|f}} が一次函数
: {{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''<sub>''I''</sub>&thinsp;''x'' + ''b''<sub>''I''</sub>}}
に等しくなるようにできることである。

[[絶対値]]関数 <math>f(x) = |x|</math> は区分線形関数のよい例である。他にも、[[矩形波]]関数、[[のこぎり波]]関数、[[床関数]]などがある。

[[file:Piecewise linear function.svg|right|thumb|区分線形関数の例]]
次の関数
:<!-----formula does not match picture:-----<math>\begin{align}
 f(x) &= |x+3|-\frac{3}{2}|x|+\frac{3}{2}|x-3|-\frac{9}{2}\\
 &=\begin{cases}
-x-3 & \text{if }x \leq -3 \\
x+3 & \text{if }-3 < x < 0 \\
-2x+3 & \text{if }0 \leq x < 3 \\
x-6 & \text{if }x \geq 3
\end{cases}
\end{align}</math>-----><math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} -3-x & \text{if} & x \leq -3 \\ x+3 & \text{if} & -3 \leq x \leq 0 \\ 3-2x & \text{if} & 0 \leq x \leq 3 \\ 0.5x - 4.5 & \text{if} & 3 \leq x \\ \end{array} \right.</math>
は4つの区分をもつ区分線形関数である。（この関数のグラフを右に示す。）線形関数のグラフは[[直線]]であるので、区分線形関数のグラフは[[線分]]と[[半直線]]からなる。

== 関連項目 ==
*[[連続 (数学)#不連続関数|不連続関数]]
*[[曲線#微分構造|区分的に連続な曲線]]

{{DEFAULTSORT:くふんせんけいかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]