十七角形のソースを表示

[[Image:Heptadecagon.svg|thumb|right|240px|正十七角形]]
'''十七角形'''（じゅうしちかくけい、じゅうななかっけい、''heptadecagon''）は、[[多角形]]の一つで、17本の[[辺]]と17個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は2700[[度 (角度)|°]]、[[対角線]]の本数は119本である。

== 正十七角形 ==
正17角形においては、[[中心角]]と[[外角]]は約 {{Math|21.18[[度 (角度)|°]]}} で、内角は約 {{Math|158.82°}}となる。また、一辺の長さが {{mvar|a}} である正17角形の面積は <math>{17a^2\over4}\cot{\pi\over{17}}\approx22.7354919a^2</math> である。

== 正十七角形の作図 ==
正十七角形は（目盛りのない）[[定規とコンパスによる作図]]が可能な図形の一つである。{{Math|''p''}} が[[素数]]である正 {{Math|''p''}} 角形のうち、このような作図が可能なものは {{Math|''p''}} が[[フェルマー素数]]である場合に限られる。具体的には {{Math|''p'' {{=}} [[3]], [[5]], [[17]], [[257]], [[65537]]}} のとき、つまり[[正三角形]]、[[五角形|正五角形]]、正十七角形、[[二百五十七角形|正二百五十七角形]]、[[六万五千五百三十七角形|正六万五千五百三十七角形]]の5つしか知られていない。

=== 作図可能性 ===
正十七角形が（目盛りのない）定規とコンパスで作図できることは[[1796年]][[3月30日]]の朝に19歳の[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が目覚めて[[ベッド]]から起き上がる時に発見した<ref>[[#高木1995|高木 1995]] p.7</ref><ref>[[#高木1996|高木 1996]] p.1</ref>。これは任意の[[三角関数]]において、その[[変数 (数学)|変数]]としての[[角度|角]]が {{Math|{{Sfrac|2{{pi}}|17}} rad}} のとき、関数の値が[[有理数]]と[[平方根]]の組み合わせのみで表現できることを意味する。例えば [[余弦]] の値は以下のように表される<ref>[[#高木1995|高木 1995]] pp.7-16</ref><ref>[[#高木1996|高木 1996]] pp.1-9</ref>。
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{17}
&=\frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)\\
&=\frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{170+38\sqrt{17}}}\right)
\end{align}</math>

=== 作図方法 ===
正17角形の具体的な作図方法は{{仮リンク|ヨハネス・エルチンゲル|en|Johannes Erchinger}}によって[[1800年]]頃に見つけられた<ref>[[#ハーディ＆ライト2001|ハーディ＆ライト 2001]] p.81</ref>。実際の作図方法を[[アニメーション]]で示すとこのようになる。全部で64段階である。
[[Image:HeptadecagonConstructionAni.gif|center|正十七角形の作図]]
以下に、作図の手順の意味を説明する (括弧内はアニメーションにおける段階の番号)。

{{Math|O}} を中心とする[[円周]]上に点 {{Math|A, B}} があり、{{Math|OA}} と {{Math|OB}} は[[直交]]するものとする (1-5)。
# [[線分]] {{Math|OB}} 上に点 {{Math|C}} を {{Math|4OC {{=}} OB}} となるようにとる (6-10)。
# 線分 {{Math|OA}} 上に点 {{Math|D}} を {{Math|4&ang;OCD {{=}} &ang;OCA}} となるようにとる (11-18)。
# {{Math|AO}} の延長上に点 {{Math|E}} を {{Math|&ang;DCE {{=}} 45°}} となるようにとる (19-24)。
# {{Math|AE}} を[[直径]]とする円と {{Math|OB}} との交点を {{Math|F}} とする (25-28)。
# {{Math|DF}} を半径とする円と線分 {{Math|OA}} との交点を {{Math|G}} とする (29)。
# {{Math|G}} を通り、{{Math|OA}} に直交する直線と円 {{Math|O}} との交点を {{Math|H}} とする (30-33)。
# 点 {{Math|H}} は 点 {{Math|A}} から数えて正十七角形の3番目の頂点であるから、コンパスの幅を {{Math|AH}} にとることで、全ての頂点を得ることができる (34-47)。
# 最後に頂点を全て結べば正十七角形を得る (48-64)。

やや詳細なイラスト付き作図
[[Image:Regular_Heptadecagon_Inscribed_in_a_Circle.gif|Heptadecagon Construction Animation]]

17角形の作図から等倍の正多角形が作図できる。正34角形：

[[Image:Regular_34-gon_Inscribed_in_a_Circle.gif|320px|34-gon Construction Animation]]

正51角形：

[[Image:Regular_51-gon_Inscribed_in_a_Circle.gif|320px|51-gon Construction Animation]]

正85角形：

[[Image:Regular_85-gon_Inscribed_in_a_Circle.gif|320px|85-gon Construction Animation]]

正255角形：

[[Image:Regular_255-gon_Inscribed_in_a_Circle.gif|320px|255-gon Construction Animation]]

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=ガウス|authorlink=カール・フリードリヒ・ガウス|others=[[高瀬正仁]]訳|origyear=1801|year=1995|month=6|title=ガウス整数論|publisher=朝倉書店|isbn=4-254-11457-5|chapter=第7章　円の分割を定める方程式|ref=ガウス1995|url=http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11457-7/}} - 歴史的文献。特に第365条を参照。
*{{Cite book|和書|author={{仮リンク|倉田令二朗|en|Reijiro Kurata}}|year=1988|month=11|title=ガウス円分方程式論|publisher=河合文化研究所|isbn=4-87999-955-5|ref=倉田1988}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|year=1971|month=10|title=初等整数論講義|edition=第2版|publisher=共立出版|isbn=4-320-01001-9|chapter=§17．1のp乗根，特に17乗根|ref=高木1971}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|year=1995|month=8|title=近世数学史談|publisher=岩波書店|series=岩波文庫|isbn=4-00-339391-0|chapter=1．正十七角形のセンセーション|ref=高木1995|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/33/0/3393910.html}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|year=1996|month=12|title=近世数学史談・数学雑談|edition=復刻版|publisher=共立出版|isbn=4-320-01551-7|chapter=1．正十七角形のセンセーション|ref=高木1996}}
*{{Cite book|1=和書|author=G・H・ハーディ|authorlink=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|coauthors=[[E・M・ライト]]|others=[[示野信一]]・[[矢神毅]]訳|origyear=1979|year=2001|month=7|title=数論入門|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=4-431-70848-0|ref=ハーディ＆ライト2001|chapter=§5.8　正17角形の作図|url=http://www.springer.jp/978-4-431-70848-3}}{{リンク切れ|date=2017年9月 |bot=InternetArchiveBot }}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* {{MathWorld|title=Heptadecagon|urlname=Heptadecagon}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:しゆうしちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
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