半代数集合のソースを表示


[[数学]]において，'''半代数集合'''(semialgebraic set)は有限個の[[多項式]]の等式，あるいは不等式の[[和集合|合併]]として定義されている．また関連して，'''半代数関数'''は半代数的な[[グラフ (関数)|グラフ]]をもつ関数である．このような集合や関数は，実数における[[代数幾何学|代数幾何]]の適切な枠組みである実代数幾何学において主要な研究題材となっている．

== 定義 ==
<math>\mathbb{F}</math> を実閉体とする．(例えば <math>\mathbb{F}</math> は実数体 <math>\mathbb{R}</math> とすることができる) <math>\mathbb{F}^n</math> の部分集合 <math>S</math> が半代数集合であるとは，有限個の多項式の等式，あるいは不等式の合併であることをいう．すなわち <math>\{(x_1,...,x_n) \in \mathbb{F}^n \mid P(x_1,...,x_n) = 0\}</math> や {<math>\{(x_1,...,x_n) \in\mathbb{F}^n \mid Q(x_1,\dots x_n)>0\}</math> のような集合の合併で表せる集合である．

== 性質 ==
代数多様体と同じように，有限個の半代数集合の交叉及び合併はまた，半代数集合である．また，代数多様体とは異なり半代数集合の補集合はまた半代数集合となる．さらに，最も重要なこととして[[Tarski–Seidenberg の定理|Tarski–Seidenberg theorem]]は射影作用素の下でも閉性を持つと主張している．言い換えれば，半代数集合は線形部分空間上に射影することで，また他の半代数集合を導くのである．これらの性質は，半代数集合はR上の[[O極小理論|o-minimal structure]]をなすことを意味する．

半代数集合及び関数が'''部分環''' <math>A\subset R</math> '''''上で定義されている'''とは，Aの係数のみによって作られた多項式によって半代数集合の定義が表現できることをいう．''

半代数集合 <math>S</math> の稠密開集合は，局所的に部分多様体である．また <math>S</math> の次数は，各点における部分多様体の最大次数として定義することができる．代数多様体と同じ次元を持つことを見るのは難しくない．

== 関連項目 ==

* Łojasiewicz inequality
* [[実数の存在理論|Existential theory of the reals]]
* Subanalytic set
* piecewise algebraic space

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=Real algebraic geometry|last=Bochnak|first=J.|last2=Coste|first2=M.|last3=Roy|first3=M.-F.|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=GJv6CAAAQBAJ&q=Semialgebraic|publisher=Springer-Verlag|place=Berlin|isbn=9783662037188}}.
* {{Citation|title=Semianalytic and subanalytic sets|last=Bierstone|first=Edward|last2=Milman|first2=Pierre D.|year=1988|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0|journal=Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.|volume=67|pages=5–42|doi=10.1007/BF02699126|mr=972342}}.
* {{Citation|title=Tame topology and ''o''-minimal structures|last=van den Dries|first=L.|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=CLnElinpjOgC&q=semialgebraic|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521598385}}.

== 外部リンク ==

* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=8997 PlanetMath page]

{{DEFAULTSORT:はんだいすうしゅうごう}}
[[Category:代数幾何学]]