半値幅のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年10月}}
[[Image:FWHM.svg|thumb|半値全幅 (FWHM)]]
'''半値幅'''（はんちはば、half width）は、山形の[[関数 (数学)|関数]]の広がりの程度を表す指標。'''半値全幅''' (はんちぜんはば、full width at half maximum, '''FWHM''') と、その半分の値の'''半値半幅''' (half width at half maximum, '''HWHM''') とがある。単に半値幅と言うと半値全幅のことが多い。

==定義==
関数 ''f''(''x'') が、ある箇所の前後で山形の局所的応答を示しているとする。尚、''f''(''x'') が[[不連続]]な場合などは考えない。もし不連続なときは、近似的な[[連続関数]]を考える。

''f''(''x'') を、ベースライン関数 ''b''(''x'') と局所的応答関数 ''g''(''x'') の和
: ''f''(''x'') = ''b''(''x'') + ''g''(''x'')
で表す。山形の広がりの成分は ''g''(''x'') に含まれ、十分大きい ''x'' と十分小さい ''x'' （あるいは、±∞ への極限）に対し ''g''(''x'') = 0 となる。

なお、十分大きい ''x'' と十分小さい ''x'' に対し ''f''(''x'') = 0 なら、''b''(''x'') = 0 とみなし、
: ''f''(''x'') = ''g''(''x'')
とすることができる。実用上は、''f''(''x'') が上の条件を満たさなくてもこうすることがある。

''g''(''x'') の[[最大値]]を ''g''<sub>max</sub> = ''g''(''x''<sub>max</sub>) とすると、''g''(''x'') = ''g''<sub>max</sub>/2 を満たす ''x'' が2つ以上存在する（''g''(''x'') が[[単峰性]]なら ''x''<sub>max</sub> の左右に1つずつ存在する）。''g''(''x'') = ''g''<sub>max</sub>/2 を満たす最小の ''x'' を ''x''<sub>1</sub>、最大の ''x'' を ''x''<sub>2</sub> とすると、''x''<sub>2</sub> - ''x''<sub>1</sub> が半値全幅、(''x''<sub>2</sub> - ''x''<sub>1</sub>)/ 2 が半値半幅である。

==半値幅の例==
[[標準偏差]] σ の[[正規分布]]の半値幅は、
{{Indent|<math>{\rm FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 2.354820 \; \sigma</math><br />
<math>{\rm HWHM} = \sqrt{2 \ln 2}\; \sigma \approx 1.177410 \; \sigma</math>}}
である。

[[双曲線関数|双曲線正割関数]] sech ''x'' の半値幅は、
{{Indent|<math>{\rm FWHM} =   2 \; \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 2.633916 </math><br />
<math>{\rm HWHM} =    \operatorname{Sech}^{-1} \frac{1}{2} = \ln (2 + \sqrt{3}) \approx 1.316958 </math>}}
である。

幅 ''a'' の[[矩形関数]]の半値幅は、
:FWHM = ''a''
:HWHM = ''a''/2

である。なおこの場合、「半」値でなくても常にこの幅になるので、単に「全幅」「半幅」とも言う。

[[Q値|品質係数Q]]との関係は、<math>\omega_0</math>を共振ピークでの共振周波数とすると
{{Indent|<math>{\rm FWHM} = \frac{\omega_0}{Q}</math>}}
で表される。

== 関連項目 ==
* [[指向性]]
* [[見かけの等級]]
* [[ファン・デームテルの式]]

{{DEFAULTSORT:はんちはは}}

[[Category:確率分布]]
[[Category:振動と波動]]
[[Category:光学]]
[[Category:数学に関する記事]]