半単純リー環のルート系のソースを表示

{{unreferenced|date=March 2011}}
{{Lie groups |Semi-simple}}

[[数学]]において，被約抽象[[ルート系]]と[[半単純リー環]]の間には1対1の対応がある．ここで'''半単純リー環のルート系'''の構成，そして逆に，被約抽象ルート系からの半単純リー環の構成，が示される．

== 付随するルート系 ==

{{mathbf|g}} を複素[[半単純リー環]]とする．さらに {{mathbf|h}} を {{mathbf|g}} の[[カルタン部分環]]とする．このとき {{mathbf|h}} は {{mathbf|g}} に[[リー環の随伴表現|随伴表現]]において同時[[対角化可能]]な[[線型写像]]として作用する．{{math|'''h'''*}} の元 {{math|''λ''}} に対して，部分空間 {{math|'''g'''<sub>''λ''</sub> ⊂ '''g'''}} を

:<math>\mathfrak{g}_\lambda := \{X\in\mathfrak{g}: [H,X]=\lambda(H)X\text{ for all }H\in\mathfrak{h}\} </math>

で定義する．{{math|'''h'''*}} の零でない {{math|''λ''}} がルートであるとは，部分空間 {{math|'''g'''<sub>''λ''</sub>}} が自明でないことをいう．このとき {{math|'''g'''<sub>''λ''</sub>}} は {{mvar|λ}} のルート空間と呼ばれる．[[カルタン部分環]]の定義により {{math|1='''g'''<sub>0</sub> = '''h'''}} が保証される．各ルート空間 {{math|'''g'''<sub>''λ''</sub>}} は1次元であることを示すことができる{{sfn|Hall|2015|loc=Theorem 7.23}}．{{mvar|R}} をすべてのルートの集合とする．{{math|'''h'''}} の元は同時対角化可能であるから，次が成り立つ：

:<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\lambda\in R}\mathfrak{g}_\lambda.</math>

カルタン部分環 {{math|'''h'''}} は {{mathbf|g}} 上の[[キリング形式]]から[[内積]]を引き継ぐ．これは {{math|'''h'''*}} 上の内積を誘導する．この内積について {{mvar|R}} は被約抽象ルート系であることを示すことができる{{sfn|Hall|2015|loc=Theorem 7.30}}．

== 付随する半単純リー環 ==

{{math|''E''}} を[[ユークリッド空間]]とし，{{math|''R''}} を {{mvar|E}} の被約抽象ルート系とする．さらに {{math|Δ}} を[[単純ルート]]たちのある選択とする．次の生成元と関係式で複素リー環を定義する．生成元：

:<math>H_\lambda,X_\lambda,Y_\lambda\text{ for }\lambda\in\Delta,</math>

{{仮リンク|シュバレー・セール関係式|en|Chevalley&ndash;Serre relation}}：
:<math>\begin{align}[][H_\lambda,H_\mu] &=0 \text{ for all }\lambda,\mu\in\Delta,\\
\left[H_\lambda,X_\mu\right] &= (\lambda,\mu)X_\mu,\\
\left[H_\lambda,Y_\mu\right] &= -(\lambda,\mu)Y_\mu,\\
\left[X_\mu,Y_\lambda\right] &= \delta_{\mu\lambda}H_\mu,\\
\mathrm{ad}_{X_\lambda}^{-(\mu,\lambda)+1}X_\mu &= 0\text{ for }\lambda\ne\mu,\\
\mathrm{ad}_{Y_\lambda}^{-(\mu,\lambda)+1}Y_\mu &= 0\text{ for }\lambda\ne\mu.\end{align}</math>

（ここで {{math|(''λ'', ''μ'')}} で表されている係数は[[カルタン行列]]の係数で置き換えられなけるべきである．）生成されるリー環は半単純でありそのルート系は与えられた {{mvar|R}} に同型であることが分かる．

== 応用 ==
[[同型]]により，[[半単純リー環]]の分類は被約抽象ルート系を分類するいくぶん簡単な仕事に帰着される．

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{PlanetMath attribution |id=7338 |title=Root system underlying a semi-simple Lie algebra}}
* {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015}}
* V.S. Varadarajan, ''Lie groups, Lie algebras, and their representations'', GTM, Springer 1984.

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Coxeter group|urlname=Coxeter_group}}
* {{MathWorld | urlname=CoxeterGroup  | title=Coxeter group }}
* {{Citation|url=http://www.jenn3d.org/index.html|title= Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators}}
* {{Citation | chapter = Weyl group | title = Encyclopaedia of Mathematics | publisher = SpringerLink | first1 = V.L. | last1 = Popov | author1-link = Vladimir L. Popov | first2 = A.S. | last2 = Fedenko | year = 2001 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lie_algebra,_semi-simple }}

{{DEFAULTSORT:はんたんしゆんりいかんのるうとけい}}
[[Category:リー環論]]
[[Category:数学に関する記事]]