半双線型形式のソースを表示

[[数学]]の特に[[線型代数学]]における複素[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} 上の'''半双線型形式'''（はんそうせんけいけいしき、{{lang-en-short|''sesquilinear form''}}; '''準双線型形式'''<ref name="Bourbaki">{{harvnb|ニコラ・ブルバキ|1970|p=11}}。</ref>）とは、写像 {{math|''V'' &times; ''V'' &rarr; '''C'''}} で一方の引数に関して[[線型作用素|線型]]かつ他方の引数に関して{{仮リンク|反線型|en|antilinear}}となるようなものを言う。名称は「1 と 1/2」を意味するラテン語の[[倍数接頭辞]] [[Wiktionary:sesqui-|''sesqui-'']] に由来する。これと対照して、[[双線型形式]]は両引数に関して線型であることを意味するが、特に専ら[[複素数]]体上の空間を扱うような多くの文献において、半双線型形式の意味で「双線型形式」と呼ぶものがある。

動機付けとなる例は複素ベクトル空間上の[[内積]]で、これは双線型ではないがその代わり半双線型である。後述の[[#幾何学的動機付け|幾何学的動機付け]]の節も参照。

== 定義と慣習 ==
何れの引数に関して線型とするかの慣習には異なる流儀が存在するが、本項では第一引数は反線型（つまり共軛線型）で、第二引数に関して線型であるものとする。これは物理学（の、本質的にはどこでもだが、もとは[[量子力学]]における[[ポール・ディラック]]の[[ブラケット記法]]）で用いられる規約である。一方で数学分野ではこれと反対に書くことが習慣づいている{{Citation needed|date=November 2013}}。

具体的に、写像 {{math|''&phi;'': ''V'' &times; ''V'' → '''C'''}} が半双線型であるとは、
:<math>\begin{align}
&\phi(x + y, z + w) = \phi(x, z) + \phi(x, w) + \phi(y, z) + \phi(y, w)\\
&\phi(a x, b y) = \bar a b\,\phi(x,y)\end{align}</math>
が任意の {{math|''x'', ''y'', ''z'', ''w'' &isin; ''V''}} および {{math|''a'', ''b'' &isin; '''C'''}} に関して成立するときに言う。

複素ベクトル空間 {{mvar|V}} の{{仮リンク|複素共軛ベクトル空間|en|complex conjugate vector space}} {{mvar|{{overline|V}}}} を考えれば、半双線型写像を複素[[双線型写像]] {{math|{{overline|''V''}} &times; ''V'' &rarr; '''C'''}} と見ることもできる。ここで[[テンソル積]]の普遍性を用いれば、これらは複素線型写像 {{math|{{overline|''V''}} &otimes; ''V'' &rarr; '''C'''}} との間に一対一対応を持つ。

また、{{math|''z'' &isin; ''V''}} を固定して考えるとき、半双線型形式 {{math|&phi;}} に対して写像 {{math|''w'' ↦ &phi;(''z'',''w'')}} は {{mvar|V}} 上の線型汎函数（つまり[[双対空間]] {{mvar|V{{sup|∗}}}} の元）であり、同様に写像 {{math|''w'' ↦ &phi;(''w'',''z'')}} は {{math|''V''}} 上の共軛線型[[汎函数]]になる。

{{mvar|V}} 上の任意の半双線型形式 {{mvar|&phi;}} が与えられたとき、その[[共軛転置]]
:<math>\psi(w,z) = \overline{\varphi(z,w)}</math>
を考えることにより、新たな半双線型形式を得ることができる。一般には、{{mvar|&psi;}} と {{mvar|&phi;}} は異なるが、両者が一致するとき {{mvar|&phi;}} は'''エルミート的''' ({{en|Hermitian}}) であると言う。あるいは一方が他方の符号を変えたものとなるならば{{mvar|&phi;}} は'''歪エルミート的''' ({{en|skew-Hermitian}}) であると言う。任意の半双線型形式は[[エルミート形式]]と[[歪エルミート形式]]との和に書くことができる。

== 幾何学的動機付け ==
双線型形式を平方 ({{math|''z''<sup>2</sup>}}) とするならば、半双線型形式は[[ユークリッドノルム]] ({{math|{{!}}''z''{{!}}<sup>2</sup> {{=}} ''z''<sup>∗</sup>''z''}}) である。

半双線型形式に付随するノルムは複素単位円（ノルムが {{math|1}} の複素数全体）上の複素数を掛ける操作に関して不変であるが、双線型形式に付随するノルムは平方に関して{{仮リンク|同変|en|equivariant}}である。この意味で、双線型写像は「代数的に」より自然だが、半双線型形式は「幾何学的に」より自然である。

複素ベクトル空間上の双線型形式 {{mvar|B}} と、それに付随するノルム {{math|{{!}}''x''{{!}}<sub>''B''</sub> :{{=}} ''B''(''x'', ''x'')}} に対して 
: <math>|ix|_B = B(ix,ix) = i^{2}B(x,x) = -|x|_B</math>
となるが、これと対照的に、複素ベクトル空間上の半双線型形式 {{mvar|S}} とそれに付随するノルム {{math|{{!}}''x''{{!}}<sub>''S''</sub> :{{=}} ''S''(''x'', ''x'')}} に関しては
: <math>|ix|_S = S(ix,ix)=\bar i i S(x,x) = |x|_S</math>
が成り立つ。

== エルミート形式 ==
{{main|エルミート形式}}
'''エルミート形式'''<ref>「エルミート形式」という語はここで言う意味とは別の、[[エルミート多様体]]上のある種の[[微分形式]]のことを指すのにもつかわれる。</ref>あるいは'''対称半双線型形式'''とは、半双線型形式 {{math|''h'': ''V'' &times; ''V'' &rarr; '''C'''}} であって
:<math>h(w,z) = \overline{h(z, w)}</math>
を満たすものを言う。{{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} 上の標準エルミート形式（「物理学」の規約、第一変数に関して反線型で第二引数に関して線型、に従うもの）は、
:<math>\langle w,z \rangle = \sum_{i=1}^n \bar{w}_i z_i</math>
で与えられる。より一般に、任意の複素[[ヒルベルト空間]]上の[[内積]]はエルミート形式である。

エルミート形式を備えたベクトル空間 {{math|(''V'',''h'')}} を'''エルミート空間'''と言う。

{{mvar|V}} が有限次元空間のとき、{{mvar|V}} の任意の[[基底 (線型代数学)|基底]] {{mvar|{{(}}e<sub>i</sub>{{)}}}} に関して、エルミート形式 {{mvar|h}} は[[エルミート行列]] {{mvar|H}} によって
:<math>h(w,z) = \bar{\mathbf{w}}^TH\mathbf{z}</math>
と表現される。ただし、{{math|'''w''', '''z'''}} はこの基底に関して {{mvar|w, z}} を表現するベクトルであり、行列 {{math|''H'' {{=}} (''h<sub>ij</sub>'')}} の成分は {{math| ''h<sub>ij</sub>'' {{=}} ''h''(''e<sub>i</sub>'', ''e<sub>j</sub>'')}} で与えられる。

エルミート形式に付随する二次形式 {{math|''Q''(''z'') {{=}} ''h''(''z'',''z'')}} は常に[[実数|実]]である。実際には、半双線型形式がエルミートであることと、それに付随する二次形式が任意の {{math|''z'' &isin; ''V''}} に対して実となることが同値であることが示せる。

== 歪エルミート形式 ==
{{main|歪エルミート形式}}
'''歪エルミート形式'''あるいは'''反対称半双線型形式'''とは、半双線型形式 {{math|''&epsilon;'': ''V'' &times; ''V'' &rarr; '''C'''}} であって、
:<math>\varepsilon(w,z) = -\overline{\varepsilon(z, w)}</math>
を満たすものを言う。任意の歪エルミート形式はエルミート形式に [[虚数単位|{{mvar|i}}]] を乗じたものとして書くことができる。

{{mvar|V}} が有限次元空間ならば、{{mvar|V}} の任意の基底 {{math|{{(}}''e<sub>i</sub>''{{)}}}} に関して、歪エルミート形式は[[歪エルミート行列]] {{mvar|A}} によって
: <math>\varepsilon(w,z) = \bar{\mathbf{w}}^T A\mathbf{z}</math>
と表現される。歪エルミート形式に付随する二次形式 {{math|''Q''(''z'') {{=}} ''&epsilon;''(''z'',''z'')}} は常に[[純虚数|純虚]]である。

== 一般化 ==
半双線型形式の概念は、{{日本語版にない記事リンク|反準同型|en|Antihomomorphism}}を備える任意の環とその上の[[環上の加群|加群]]に対して一般化することができる。基礎環は必ずしも[[可換環|可換]]でない[[環 (数学)|環]]としてよく、反準同型が複素共軛の代わりを果たす。二つの環 {{mvar|A, B}}, 左 {{mvar|A}}-加群 {{mvar|E}}, 左 {{mvar|B}}-加群 {{mvar|F}}, {{math|(''A'',''B'')}}-両側加群 {{mvar|G}} および {{mvar|B}} 上の反準同型 {{mvar|J}} に対して、積加群 {{math|''E'' &times; ''F''}} から {{mvar|G}} への写像 {{math|&Phi;}} が以下の条件
*<math>\Phi(x+x', y) = \Phi(x,y) + \Phi(x',y)</math>
*<math>\Phi(x,y+y') = \Phi(x,y) + \Phi(x,y')</math>
*<math>\Phi(ax, y) = a\Phi(x,y)</math>
*<math>\Phi(x,by) = \Phi(x,y)b^J</math>
を満たすとき、{{mvar|J}} に関する右'''準双線型写像''' ({{fr|application sesquilinéaire}}) であるという。左準双線型写像も同様に定義される。{{math|''B'' {{=}} ''A'', ''G'' {{=}} ''A''}} と取った（および特に {{math|''E'' {{=}} ''F''}} とした）準双線型写像は準双線型形式 ({{fr|forme sesquilinéaire}}) と呼ばれる<ref name="Bourbaki" />。（変換を右肩に載せる「冪記法」は群論ではよく用いられる）

{{仮リンク|ラインホルト・ベーア|en|Reinhold Baer}}は、自身の著書 {{en|''Linear Algebra and Projective Geometry'' (1952)}} の 5 章において、上記の環 {{mvar|A}} として体 {{mvar|F}} をとり、{{mvar|F}}-線型空間 {{mvar|V}} と、反準同型 {{mvar|J}} として {{mvar|V}} 上の反線型写像 {{mvar|&alpha;}} を考えて得られる、{{mvar|V}} 上の半双線型形式を用いて互いに双対な線型多様体の特徴付けを行った。ベーアはこのような形式を {{mvar|A}} 上の {{mvar|&alpha;}}-形式と呼んだ。通常の半双線型形式は {{mvar|&alpha;}} が複素共軛であるときであり、また {{mvar|&alpha;}} が恒等写像ならば[[双線型形式]]が得られる。

[[*-環]]と呼ばれる代数構造において、反準同型は {{math|∗}} で表され、それによって構築される半双線型形式を考えることができる。そのようなものの特別の場合として、歪対称双線型形式、エルミート形式、歪エルミート形式はより広い文脈において考えることができる。

特に{{仮リンク|L-理論|en|L-theory}}において '''{{mvar|&epsilon;}}-対称形式'''という用語も見られ、{{math|''&epsilon;'' {{=}} &plusmn;1}} の場合として対称形式と歪対称形式が含まれる。同様に''' {{mvar|&epsilon;}}-エルミート形式'''（{{mvar|&epsilon;}} は {{mvar|A}} の[[中心元]]）において {{math|&epsilon; {{=}} 1}} はエルミート形式、{{math|&epsilon; {{=}} &minus;1}} は歪エルミート形式に対応する<ref>{{harvnb|ニコラ・ブルバキ|1970|p=38}}。</ref>。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book|first1=K.W.|last1=Gruenberg|first2=A.J.|last2=Weir|year=1977|title=Linear Geometry|chapter=§5.8 Sesquilinear Forms|pages=120&ndash;124|publisher=Springer Verlag|isbn=0-387-90227-9|ref=harv}}
* {{cite book|first=Siegfried|last=Bosch|title=Lineare Algebra|edition= 3rd|publisher=Springer-Lehrbuch, Heidelberg|year=2006|pages=245–248|isbn=3-540-29884-3|ref=harv}}
* {{cite book|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=ニコラ・ブルバキ|series=Éléments de mathématique|title=Algèbre chapitre 9|page=10|isbn=3-540-35338-0 |publisher=Springer Science+Business Media, Berlin |year=2007|ref=harv}}
* {{cite book|和書|author=ニコラ・ブルバキ|year=1970|title=代数 7|series=数学原論 9|publisher=東京図書|ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|id=Sesquilinear_form|title=Sesquilinear form|author=Onishchik, A.L.}}
* {{PlanetMath|urlname=SesquilinearFormsOverGeneralFields|title=sesquilinear forms over general fields}}
* {{nlab|urlname=sesquilinear+form|title=sesquilinear form}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Sesquilinear_Form|title=Definition:Sesquilinear Form}}

{{DEFAULTSORT:はんそうせんけいけいしき}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]