半周長のソースを表示

[[平面幾何学]]における'''半周長'''（はんしゅうちょう、{{lang-en-short|semiperimeter}}）とは、[[多角形]]の[[周長]]の半分の値である。周長から容易に導かれる値であるが、[[三角形]]における[[公式]]などでよく出現することから独立した名称を与えられている。式に記述されるときには小文字の s を使用するのが一般的である。

== 三角形 ==
[[Image:Nagel point.svg|thumb|300px|任意の三角形において、頂点から辺に沿って半周長の距離にある点は[[傍接円]]との接点である。]]

半周長は、三角形において用いられることが最も多い。3辺の長さを ''a'', ''b'', ''c'' としたとき、半周長は以下の式で表すことができる。
:<math>s = \frac{a+b+c}{2}.</math>

=== 性質 ===
任意の三角形において、頂点とその反対側にある[[傍接円]]の接点は三角形の周を2等分する。即ち頂点からこの接点への2つの経路の長さは半周長に一致する。A, B, C, A', B', C' を右の図のように置けば、以下の式が成り立つ。
: <math>s = |AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|</math>
: <math>=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.</math>
3本の直線 AA',BB', CC' は[[ナーゲル点]]で交わる。

三角形の{{仮リンク|中分線|en|Cleaver (geometry)}}と呼ばれる線は、辺の中点を通り周を2等分する線である。即ち、中分線で分割された周の2つの部分は共に半周長の長さを持つ。3つの cleaver は[[角の二等分線]]に平行であり<ref>{{MathWorld|title=Cleaver|urlname=Cleaver}}</ref>、[[中点三角形]]の[[内心]]で交わる。この交点は、もとの三角形を「中空」――即ち、辺は重さをもつが内部の点は重さをもたない針金細工のようなもの――だと考えた場合の物理的な[[重心]]であり、[[シュピーカー点]]とも呼ばれる。

直線が周長を2等分するのは、その線が三角形の内心を通るときのみである。

三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。

[[三角不等式]]より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。

=== 半周長を用いる公式 ===
この節の中では半周長を ''s'' で表す。

三角形の面積を ''S'' とする。三角形の面積は、[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]の半径 ''r'' と半周長の積に等しい。
: <math> S = rs</math>

三角形の面積は、三辺の長さを ''a, b, c'' としたとき[[ヘロンの公式]]によって以下のように表すことができる。
: <math>S = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>

[[外接円]]の半径 ''R'' は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。
: <math>R = \frac{abc} {4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}</math>
この式は[[正弦定理]]から導くことができる。

内接円の半径は
: <math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} </math>
となる。

[[余接定理]]は、半分の角度の[[余接]]（コタンジェント）を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。

角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる<ref name=Johnson>{{cite book|last=Johnson|first=Roger A.|title=Advanced Euclidean Geometry|year=2007|publisher=Dover|location=Mineola, New York|isbn=9780486462370|page=70}}</ref>。
: <math>t_a= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}</math>

[[直角三角形]]において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。直角三角形の直角を挟む2辺の長さを ''a'', ''b'' とすると、面積は <math>(s-a)(s-b)</math> となる。

単位球において、3辺の長さが ''a'', ''b'', ''c'' である球面三角形の球過量 ''E'' は[[リュイリエの公式]]によって以下のように表すことができる。
: <math>E = 4\tan^{-1}\sqrt{\tan\frac{s}{2}\tan\frac{s-a}{2}\tan\frac{s-b}{2}\tan\frac{s-c}{2}}</math>

== 四角形 ==
[[四角形]]の4辺の長さを ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' とすると、半周長は以下の式で表すことができる。
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2}</math>

三角形の面積の公式の一つは円に外接する四辺形にも適用できる。[[ピトーの定理]]により、対辺の長さの和は半周長に等しい。そして、[[内接円]]の半径 ''r'' を用いて以下の式で面積を表すことができる。
: <math> S = rs</math>

円に内接する四角形の面積を求める[[ブラーマグプタの公式]]は、[[ヘロンの公式]]に似た単純な形をしている。
: <math>S = \sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}</math>
[[ブレートシュナイダーの公式]]は、この式を一般の[[凸多角形|凸四角形]]に拡張したものである。
: <math> S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}</math>
ここで、<math>\alpha</math> と <math>\gamma</math> は向かい合う角の大きさである。

<!--[[双心四角形]]の4辺の長さは半周長と内接円と外接円の半径を用いたある4次方程式の解になる。-->

== その他の多角形 ==
多角形が内接円を持つ場合、面積はその半径と半周長の積に等しい。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
*{{mathworld | title = Semiperimeter | urlname = Semiperimeter}}

{{DEFAULTSORT:はんしゆうちよう}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:長さ]]
[[Category:数学に関する記事]]