半局所環のソースを表示

{{for|ジャコブソン根基に含まれるイデアルによって定義された位相を持ったネーター環という古い意味 |ザリスキ環}}
[[数学]]において、'''半局所環''' (semi-local ring) は ''R''/J(''R'') が[[半単純環]]であるような[[環 (数学)|環]] ''R'' である。ここで J(''R'') は環 ''R'' の[[ジャコブソン根基]]である{{sfn|Lam|2001|loc={{google books quote|id=f15FyZuZ3-4C|page=296|Chapter 7 &ndash; §20}}}}{{sfn|Mikhalev|Pilz|2002|loc={{google books quote|id=i2g2cstPDfEC|page=173|C Rings, Modules, Algebras &ndash; C.7}}}}。

この条件は ''R'' の[[極大イデアル|極大右（左）イデアル]]が有限個であれば満たされる{{sfn|Lam|2001|loc={{google books quote|id=f15FyZuZ3-4C|page=296|Proposition (20.2)}}}}。さらに環 ''R'' が[[可換環|可換]]のときには逆も成り立つため{{sfn|Lam|2001|loc={{google books quote|id=f15FyZuZ3-4C|page=296|Proposition (20.2)}}}}、可換環に対して半局所環はしばしば「極大イデアルが有限個である環」と定義される。

いくつかの文献では一般の可換半局所環を''擬半局所環'' (quasi-semi-local ring) と呼び、極大イデアルが有限個の[[ネーター環]]を半局所環と呼んでいる。

したがって半局所環は、極大（右／左／両側）イデアルをただひとつだけもつ[[局所環]]よりも一般的である。

== 例 ==
* 任意の右あるいは左[[アルティン環]]、任意の {{仮リンク|serial ring|en|serial ring}}, 任意の[[半完全環]]は半局所環である。
* 剰余環 <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> は半局所環である。とくに、<math>m</math> が素冪であれば、<math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> は局所環である。
* 有限個の体の直和 <math>\bigoplus_{i=1}^n{F_i}</math> は半局所環である。
* 単位元を持つ可換環の場合には、この例は次のような意味でプロトタイプである。すなわち、[[中国の剰余定理]]によって、極大イデアルが ''m''<sub>1</sub>, ..., ''m<sub>n</sub>'' である単位的可換半局所環 ''R'' に対し、
::<math>R/\bigcap_{i=1}^n m_i\cong\bigoplus_{i=1}^n R/m_i\,</math>
:である。（写像は自然な射影）。右辺は体の直和である。ここで ∩<sub>''i''</sub>&nbsp;''m<sub>i</sub>''&nbsp;=&nbsp;J(''R'') であることに注意すると、''R''/J(''R'') は実際半局所環であることがわかる。
* 任意の可換ネーター環に対する{{仮リンク|古典的商環|label=classical ring of quotients|en|classical ring of quotients}}は半局所環である。
* [[アルティン加群]]の[[自己準同型環]]は半局所環である。
* 半局所環は例えば[[代数幾何学]]において（可換）環 ''R'' が[[積閉集合]] <math>S=\bigcap (R\setminus p_i),</math> ただし ''p<sub>i</sub>'' たちは有限個の[[素イデアル]]、によって[[環の局所化|局所化]]されるときに生じる。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{citation
   |last=Lam
   |first=T. Y.
   |title=A first course in noncommutative rings
   |series=Graduate Texts in Mathematics
   |volume=131
   |edition=2
   |publisher=Springer-Verlag
   |place=New York
   |date=2001
   |url={{google books|f15FyZuZ3-4C|plainurl=yes}}
   |pages=xx+385
   |isbn=0-387-95183-0
   |mr=1838439
}}
*{{citation
   |title=The concise handbook of algebra
   |editor1=Mikhalev, Alexander V.
   |editor2=Pilz, Günter F.
   |publisher=Kluwer Academic Publishers
   |place=Dordrecht
   |date=2002
   |url={{google books|i2g2cstPDfEC|plainurl=yes}}
   |pages=xvi+618
   |isbn=0-7923-7072-4
   |mr=1966155
   |ref={{sfnref|Mikhalev|Pilz|2002}}
}}

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[[Category:局所化]]
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