半径のソースを表示

{{混同|半径 (グラフ理論)|{{ill2|半直径|en|semidiameter}}}}
[[File:球の半径.png|thumb|球の半径]]
[[File:Circle-withsegments.svg|thumb|円の[[周長|周囲]] {{mvar|C}}(黒); 直径 {{mvar|D}}(水); 半径 {{mvar|R}}(赤); 中心（原点）{{mvar|O}}(紫)]]

[[初等幾何学|古典的な幾何学]]では[[円 (数学)|円]]や[[球面|球]]の'''半径''' ({{lang-en-short|''radius''}}{{efn2|複数形は ''radii''（ラテン語式）だが、稀に英語式で ''radiuses'' とすることもある<ref>{{cite web|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/radius |title=Radius - Definition and More from the Free Merriam-Webster Dictionary |publisher=Merriam-webster.com |date= |accessdate=2012-05-22}}</ref>}}) は、その中心から[[周長|周囲]]へ渡した任意の[[線分]]や、その[[長さ]]である。

これは「光線」や「[[スポーク|輻]]」を意味する{{lang-la|radius}} に由来し、一点からあらゆる方向へ放射状に延びる[[線分]]（あるいは[[半直線]] (ray)）を表している<ref name="radic">[http://dictionary.reference.com/browse/Radius Definition of Radius] at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.</ref>。

==概要==
半径を文字で置くときは radius の頭文字をとった省略形の {{math|r}} とするのが典型的である。この省略形は[[1569年]]に{{仮リンク|ピエール・ラムス|en|Petrus Ramus}}が初めて使用した<ref>{{Cite |和書 | author = 黒木哲徳 | title = なっとくする数学記号 | date = 2021 | pages = 32 | publisher = 講談社
 | isbn = 9784065225509 | series = ブルーバックス | ref = harv }}</ref>。

半径を二倍に延長して[[直径]]の大きさ {{math|d}} を得る。つまり、<math display="block">d := 2r \qquad(\implies r = \frac{d}{2})</math> の関係がある<ref name="mwd1">
[http://www.mathwords.com/r/radius_of_a_circle_or_sphere.htm Definition of radius] at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.</ref>。[[周長]]（[[円周]]の長さ）{{mvar|C}} の円の半径は <math display="inline">r = \frac{C}{2\pi}</math> で求められる。

[[正多角形]]に対しては、単にその半径 (radius) と言った場合には'''外半径'''（[[外接円]]の半径）の意味である<ref name="schaum">Barnett Rich, Christopher Thomas (2008), ''Schaum's Outline of Geometry'', 4th edition, 326 pages. McGraw-Hill Professional. {{ISBN2|0-07-154412-7|978-0-07-154412-2}}. [https://books.google.com/books?id=ab8lZG2yubcC  Online version] accessed on 2009-08-08.</ref>。正多角形の内半径（[[内接円]]の半径）は[[辺心距離]]と言う。

中心を持たない幾何学的対象の場合には、'''最小包含半径'''（「最小包含円」や「{{ill2|最小包含球|en|Bounding sphere}}」の半径）という意味で単に「半径」(radius) ということもある。この場合の「半径」は（直径を通例の如くその図形の任意の二点間の距離の最大値として定義するならば）直径の半分よりも大きくなり得る。

図形の'''内半径''' (inradius) はふつうその図形に含まれる円（または球）の最大半径の意味であるが、日常語として輪っか (ring) や筒 (tube) などの中空物体の内半径 (inner radius) は、その空洞部分の半径の意味で用いる。

[[グラフ理論]]において[[半径 (グラフ理論)|グラフの半径]] (radius) は、グラフの各頂点 {{mvar|u}} から測ったほかの頂点までの最大距離の {{mvar|u}} を任意の頂点を亙って動かしたときの最小値と定義される<ref name="yel">Jonathan L. Gross, Jay Yellen (2006), ''Graph theory and its applications''. 2nd edition, 779 pages; CRC Press. {{ISBN2|1-58488-505-X|9781584885054}}. [https://books.google.com/books?id=unEloQ_sYmkC Online version] accessed on 2009-08-08.</ref>。

== 半径公式 ==
様々な図形に対し、半径は矛盾なく定義できて、その図形の他の部分の測度と何らかの関係性を持つ。
=== 円 ===
{{See also|[[円の面積]]}}
[[面積]]が {{mvar|A}} であるような[[円 (数学)|円]]の半径は <math display="block">r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}</math> で求まる。

[[共線|同一直線上]]にない三点 {{math|''P''{{sub|1}}, ''P''{{sub|2}}, ''P''{{sub|3}}}} を通る円の半径は <math display="block">r=\frac{|\vec{OP_1}-\vec{OP_3}|}{2\sin\theta} \qquad(\theta = \angle P_1P_2P_3)</math> で与えられる。この公式は[[正弦定理]]に用いられる。{{main|正弦定理}}

さらに、三点の座標が具体的に {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}}), (''x''{{sub|2}}, ''y''{{sub|2}}), (''x''{{sub|3}},''y''{{sub|3}})}} と与えられているならば、上式は <math display="block"> r = \frac {\sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] [(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2] [(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2]} }{ 2| x_1  y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_1 y_3 - x_2 y_1 - x_3 y_2| }</math> の形になる。

=== 正多角形 ===
{{See also|外接円}}
{| class="floatright"
|+ 小さい {{mvar|n}} に対する {{mvar|R{{sub|n}}}}
|
{| class="wikitable"
! {{mvar|n}}
! {{math|''R''<sub>''n''</sub>}}
|-
| 3 || {{gaps|0.577|350...}}
|-
| 4 || {{gaps|0.707|106...}}
|-
| 5 || {{gaps|0.850|650...}}
|-
| 6 || 1.0
|-
| 7 || {{gaps|1.152|382...}}
|-
| 8 || {{gaps|1.306|562...}}
|-
| 9 || {{gaps|1.461|902...}}
|-
| 10 || {{gaps|1.618|033...}}
|}
|| [[File:Regular polygon radius square.png|thumb|{{math|1=''n'' = 4}}: 正方形の半径]]
|}
一辺の長さ {{mvar|s}} の正 {{mvar|n}}-角形の半径 {{mvar|r}} は <math display="block">r = R_n s\qquad \Bigl(R_n := \frac{1}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\Bigr)</math> で与えられる（小さい {{mvar|n}} に対する {{mvar|R{{sub|n}}}} の値を右の表にまとめておく）。

{{math|1=''s'' = 1}} のときには、{{mvar|R{{sub|n}}}} それ自身が対応する正 {{mvar|n}}-角形の半径を与えている。
<!-- To add: radius from area, inradius from outradius, outradius from inradius -->

=== 超立方体 ===
{{mvar|d}}-次元[[超立方体]]の一辺の長さが {{mvar|s}} ならば、その半径は <math display="block"> r = \frac{s}{2}\sqrt{d}</math> を満たす。

== 座標系の動径 ==
特別に固定された一点から放射状に走る[[半直線]]という意味での radius は'''動径'''と呼ばれ、平面や三次元空間あるいはより一般の空間において、いくつかの座標系の構成成分の一つになる。例えば、動径成分が一定であるような点の軌跡は、円や球面を掃く。

=== 極座標系 ===
{{main|極座標系}}
極座標系は、[[平面]]上の各[[点 (幾何学)|点]]が特別に固定された点からの[[距離]]と特別に固定された方向から測った[[角度]]によって決定される、[[二次元空間|二次元]]の[[座標系]]である。（[[直交座標系]]における[[原点 (数学)|原点]]に対応する）固定された点はこの座標系の'''極''' (''pole'') と言い、固定された方向へ極から出る[[半直線]]を'''極線''' (''polar axis''; 極軸), '''原線''' (''primitive axis'') または'''始線''' (''initial axis'') という。極からの距離を'''動径座標''' (''radial coordinate'') あるいは'''動径''' (''radius'') などと呼び、極線から測った角を'''偏角座標''' (''angular coordinate'')、'''極角''' (''polar angle'') あるいは'''[[方位角]]''' (''azimuth'') などと呼ぶ<ref name="brown">{{Cite book| last = Brown| first = Richard G.| editor = Andrew M. Gleason| year = 1997| title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis| publisher = McDougal Littell| location = Evanston, Illinois| isbn = 0-395-77114-5}}</ref>。

=== 円筒座標系 ===
{{main|円筒座標系}}
円筒座標系では、基準となる固定された軸とその軸に直交する基準平面が存在する。この座標系の「原点」は基準軸と基準面との交点を言い、三つの座標成分すべてを零としたときの点として指定することができる。

基準面上では原点を極とする極座標系が入っており、その極座標系に関する'''極線'''が基準面上にあるから、基準面に直交する基準軸はそれと区別するために、'''円筒軸''' (''cylindrical axis'') や'''緯線軸''' (''longitudinal axis'') などと呼ぶが、基準面を水平面と考えるときには'''縦軸'''、基準面を垂直面と考えるときには'''横軸'''や'''前後軸'''のようにも呼び、名称は様々である。

円筒軸からの距離を'''動径距離''' (''radial distance'') や'''動径''' (''radius'') と言い、円筒軸回りの偏角座標をしばしば'''角度位置''' (''angular position'') や'''[[方位角]]''' (''azimuth'') と呼ぶ。考えている点を通り基準面に平行な平面上で、動径と方位角は二次元の[[極座標系]]を定めるから、動径成分と方位角成分を併せて「極座標成分」(''polar coordinates'') と呼ぶ。残る第三の成分は、'''緯度''' (''longitudinal position''<ref>{{cite journal |last1=Krafft |first1=C. |last2=Volokitin |first2=A. S. |title=Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves |journal=Physics of Plasmas |date=1 January 2002 |volume=9 |issue=6 |pages=2786–2797 |doi=10.1063/1.1465420 |url=http://pop.aip.org/resource/1/phpaen/v9/i6/p2786_s1?isAuthorized=no |archiveurl=https://archive.is/20130414005110/http://pop.aip.org/resource/1/phpaen/v9/i6/p2786_s1?isAuthorized=no |dead-url=yes |archive-date=14 April 2013 |accessdate=9 February 2013 |issn=1089-7674 |quote=...in cylindrical coordinates (''r'',''θ'',''z'') ... and Z=v<sub>bz</sub>t is the longitudinal position... |bibcode=2002PhPl....9.2786K }}</ref>) や'''軸位置''' (''axial position''.<ref>Alexander Groisman and Victor Steinberg (1997), ''Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow''. Physical Review Letters, volume 78, number 8, 1460–1463. {{doi|10.1103/PhysRevLett.78.1460}}  "<nowiki>[...]</nowiki>where ''r'', ''θ'', and ''z'' are cylindrical coordinates <nowiki>[...]</nowiki> as a function of axial position<nowiki>[...]</nowiki>"</ref>) などと呼ばれ、あるいは基準面を水平面と見たときには'''高さ''' (''height'') や'''高度''' (''altitude'') などとも呼ぶ。

=== 球面座標系 ===
{{main|球面座標系}}
球面座標系では、'''動径'''の大きさは固定された原点からの距離を記述するものになる。この座標系での点の位置は、動径成分以外に、固定された天頂方向 (''zenith direction'') から動径方向へ測った極角である'''天頂角''' (''zenith angle'') と、原点を通り天頂方向に直交する基準平面上への動径方向の直交射影と基準平面上の基準方向の成す角である'''[[方位角]]''' (''azimuth angle'') で決まる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 関連項目 ==
{{Wikidata property}}
{{colbegin}}
* {{ill2|曲げ半径|en|Bend radius}}
* {{ill2|充填半径|en|Filling radius}} in Riemannian geometry
* [[収束半径]]
* {{ill2|凸性半径|en|Radius of convexity}}
* [[曲率半径]]
* [[断面回転半径]]
* {{ill2|半直径|en|Semidiameter}}
{{colend}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Radius|title=Radius}}
* {{nlab|urlname=radius|title=radius}}
* {{PlanetMath|urlname=radius|title=radius}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Radius|title=Definition:Radius}}
* {{SpringerEOM|urlname=Radius|title=Radius|author=BSE-3}}
* {{SpringerEOM|urlname=Radius_vector|title=Radius vector|author=BSE-3}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はんけい}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:長さ]]
[[Category:数学に関する記事]]