半微分可能性のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[微分積分学]]における、'''半微分可能性'''（はんびぶんかのうせい、{{Lang-en-short|semi-differentiability}}）あるいは'''片側微分可能性'''（かたがわびぶんかのうせい、{{Lang-en-short|one-sided differentiability}}）とは、[[実数]]を変数とする実数値関数 ''f'' についての[[微分可能関数|微分可能性]]よりも弱い概念である。

== 一次元の場合 ==
=== 定義 ===
''f'' を、実数空間内のある部分集合 ''I'' 上で定義される、ある実数値関数とする。

''a''&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' を ''I''&nbsp;∩&nbsp;<nowiki>[</nowiki>''a'',∞) のある[[極限点]]としたとき、[[片側極限]]

:<math>\partial_+f(a):=\lim_{{\scriptstyle x\to a+\atop\scriptstyle x\in I}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>

が実数として存在するなら、''f'' は ''a'' において'''右微分可能'''（right differentiable）と呼ばれ、その極限 ∂<sub>+</sub>''f''(''a'') は ''f'' の ''a'' における'''右微分'''（right derivative）と呼ばれる。

''a''&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' が ''I''&nbsp;∩&nbsp;(–∞,''a''<nowiki>]</nowiki> の極限点であり、片側極限

:<math>\partial_-f(a):=\lim_{{\scriptstyle x\to a-\atop\scriptstyle x\in I}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>

が実数として存在するなら、''f'' は ''a'' において'''左微分可能'''（left differentiable）と呼ばれ、その極限 ∂<sub>–</sub>''f''(''a'') は ''f'' の ''a'' における'''左微分'''（left derivative）と呼ばれる。

''a''&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' が ''I''&nbsp;∩&nbsp;<nowiki>[</nowiki>''a'',∞) および ''I''&nbsp;∩&nbsp;(–∞,''a''<nowiki>]</nowiki> の極限点であり、''f'' が ''a'' において左および右微分可能であるなら、''f'' は ''a'' において'''半微分可能'''（はんびぶんかのう、{{Lang-en-short|semi-differentiable}}）と呼ばれる。

=== 注意と例 ===
* ある関数がその[[定義域]]のある[[内点]] ''a'' において[[微分可能関数|微分可能]]であるための[[必要十分条件]]は、それが ''a'' において半微分可能であるとともに左微分と右微分が一致することである。
* 半微分可能であるが微分可能でない関数の例として、[[絶対値]]関数が挙げられる（''a''&nbsp;=&nbsp;0 において半微分可能であるが微分可能でない）。
* 点 ''a'' において半微分可能な関数は、''a'' において連続である。
* [[指示関数]] 1<sub><nowiki>[</nowiki>0,∞)</sub> は、すべての実数 ''a'' において右微分可能であるが、ゼロにおいて不連続である（この指示関数はゼロにおいて左微分可能でないことに注意されたい）。

=== 応用 ===
実数直線内のある区間 ''I'' 上で定義される、微分可能な実数値関数 ''f'' の微分が至る所でゼロであるなら、[[平均値の定理]]を適用することにより、その関数は定数であることが示される。その ''f'' の微分可能性の仮定は、連続性と片側微分可能性の仮定へと弱めることが出来る。以下では、右微分可能関数の場合を示すが、左微分可能関数についても同様の議論が成立する。

'''定理：''' ''f'' を、実数直線内の任意の[[区間 (数学)|区間]]上で定義される、実数値[[連続関数]]とする。''f'' が、その区間内の[[順序集合|上限]]でないようなすべての点 ''a''&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' において右微分可能であり、その右微分が常にゼロであるなら、''f'' は[[定数関数]]である。

'''証明：''' [[背理法]]を用いる。''f''(''a'')&nbsp;≠ ''f''(''b'') を満たすような ''a''&nbsp;<&nbsp;''b'' が区間 ''I'' 内に存在すると仮定する。すると、

:<math>\varepsilon:=\frac{|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}>0 </math>

が成立する。''c'' を、''f'' の[[差分商]]の絶対値が ''ε'' より大であるような、区間 (''a'',''b''<nowiki>]</nowiki> 内のすべての ''x'' の[[順序集合|下限]]とする。すなわち、

:<math>c=\inf\{\,x\in(a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon(x-a)\,\}</math>

とする。''f'' の連続性より、''c''&nbsp;<&nbsp;''b'' および |''f''(''c'')&nbsp;– ''f''(''a'')|&nbsp;= ''ε''(''c''&nbsp;– ''a'') が成立する。''c'' において、仮定より ''f'' の右微分はゼロである。したがって、区間 (''c'',''b''<nowiki>]</nowiki> の中には、(''c'',''d''<nowiki>]</nowiki> 内のすべての ''x'' に対して |''f''(''x'')&nbsp;– ''f''(''c'')|&nbsp;≤ ''ε''(''x''&nbsp;– ''c'') が成立するような、ある ''d'' が存在する。すると、[[三角不等式]]より、

:<math>|f(x)-f(a)|\le|f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\le\varepsilon(x-a)</math>

が、<nowiki>[</nowiki>''c'',''d''<nowiki>]</nowiki> 内のすべての ''x'' に対して成立する。しかしこれは、''c'' の定義に矛盾する。

== 高次元の場合 ==
上述の定義は、'''R'''<sup>''n''</sup> の部分集合上で定義される実数値関数 ''f'' に対して一般化される。''a'' を、''f'' の定義域のある内点とする。このとき、''f'' が点 ''a'' において'''半微分可能'''であるとは、すべての方向 ''u''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> に対して、極限

:<math>\partial_uf(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h\, u)-f(a)}{h}</math>

が実数として存在することを言う。

したがって半微分可能性は、上の極限 ''h''&nbsp;→&nbsp;0 での ''h'' を正の数に限定している点において、[[ガトー微分|ガトー微分可能性]]よりも弱い概念である。

（この一般化では、片側極限点がより強い内点の概念に置き換えられているため、''n = 1'' においては元の定義と同値ではないことに注意されたい）

== 性質 ==
* '''R'''<sup>''n''</sup> 内の凸[[開集合|開部分集合]]上の任意の[[凸関数]]は、半微分可能である。
* 一変数のすべての半微分可能関数は連続であるが、多変数の場合にはこのことは真ではない。

== 一般化 ==
実数値関数の代わりに、'''R'''<sup>''n''</sup> あるいは[[バナッハ空間]]に値を取る関数を考えることも出来る。

== 関連項目 ==
* [[導関数]]
* [[方向微分]]
* [[偏微分]]
* [[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]
* [[ガトー微分]]
* [[フレシェ微分]]
* [[微分の一般化]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* Preda, V. and Chiţescu, I. ''On constraint qualification in multiobjective optimization problems: semidifferentiable case.''  J. Optim. Theory Appl.  '''100'''  (1999),  no. 2, 417--433.

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[[Category:微分積分学]]
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