半楕円型作用素のソースを表示

[[数学]]の、特に[[偏微分方程式]]の理論において、'''半楕円型作用素'''（はんだえんがたさようそ、{{Lang-en-short|semi-elliptic operator}}）とは、[[楕円型作用素]]のそれよりもわずかに弱い正値性の条件を満たすある[[微分作用素|偏微分作用素]]のことを言う。すべての楕円型作用素は半楕円型でもあり、楕円型作用素の持つ多くの良い性質を半楕円型作用素も持つ。例えば、存在や一意性の理論の多くは同一のものが適用可能で、半楕円型[[ディリクレ問題]]は{{仮リンク|確率過程と境界値問題|label=確率解析の手法|en|Stochastic processes and boundary value problems}}を利用することで解くことが出来る。

== 定義 ==

''n''-[[次元]][[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> のある[[開集合]] Ω 上で定義される二階の偏微分作用素 ''P'' で、適当な函数 ''f'' に対し

:<math>P f(x) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{ij} (x) \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \, \partial x_{j}}(x) + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} (x) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) + c(x) f(x),</math>

で定められるものが'''半楕円型'''であるとは、[[行列]] ''a''(''x'')&nbsp;=&nbsp;(''a''<sub>''ij''</sub>(''x'')) のすべての[[固有値]] ''λ''<sub>''i''</sub>(''x''), 1&nbsp;≤&nbsp;''i''&nbsp;≤&nbsp;''n'' が非負であることを言う。対照的に、''λ''<sub>''i''</sub>(''x'')&nbsp;&gt;&nbsp;0 がすべての ''x''&nbsp;∈&nbsp;Ω と 1&nbsp;≤&nbsp;''i''&nbsp;≤&nbsp;''n'' に対して成り立つなら ''P'' は'''楕円型'''と呼ばれ、そのような各固有値が ''i'' と ''x'' について一様に 0 から離れて[[一様有界性|一様有界]]であるなら、'''一様楕円型'''と呼ばれる。また同値であるが、''P'' が半楕円型であるとは行列 ''a''(''x'') が各 ''x''&nbsp;∈&nbsp;Ω に対して[[定符号二次形式|正定値]]であることを言う。

== 参考文献 ==

* {{cite book 
| last = Øksendal
| first = Bernt K.
| authorlink = :en:Bernt Øksendal
| title = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications 
| edition = Sixth edition
| publisher=Springer
| location = Berlin 
| year = 2003 
| isbn = 3-540-04758-1
}} (See Section 9)

{{DEFAULTSORT:はんたえんかたさようそ}}
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