半角正接置換のソースを表示

{{解析学}}
'''半角正接置換'''（はんかくせいせつちかん、{{Lang-en-short|Tangent half-angle substitution}}）とは数学において、主に[[積分]]計算で利用される正接 {{math|tan}} による変数変換である。'''ワイエルシュトラス置換'''とも呼ばれる。[[三角関数]]のみで構成された積分に対してこの置換を施すことにより、[[有理関数]]へと変形することができる。すなわち、
:<math> t = \tan\frac\theta2 </math>
なる置換をすることにより、
:<math> \int f(\sin\theta ,\, \cos\theta) \, {\rm d}\theta = \int f\biggl( \frac{2t}{1+t^2} ,\, \frac{1-t^2}{1+t^2} \biggr) \, \frac{2}{1+t^2} \, {\rm d}t </math>
と変形されるのである。また、[[正弦]] {{math|sin}} や[[余弦]] {{math|cos}} が自乗されている場合や、一次の正弦、余弦どうしの積などが含まれる場合は {{math|''t'' {{=}} tan ''&theta;''}} のように置換することもある。なお本稿では、ことわりのない限り {{math|''t''}} は半角正接置換を指すものとする。

== 導入 ==
冒頭でも説明したとおり、半角正接置換を施すことにより、
:<math> \sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} ,\quad \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} ,\quad {\rm d}\theta = \frac{2}{1+t^2} \, {\rm d}t </math>
のように変形することができる。

=== 導出 ===
[[三角関数#加法定理|三角関数の加法定理]]と[[三角関数#ピタゴラスの基本三角公式|相互法則]]から、
:<math> \sin\theta = \frac{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)} = \frac{2\tan(\theta/2)}{\tan^2(\theta/2) + 1} = \frac{2t}{1+t^2} </math>
:<math> \cos\theta = \frac{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)} = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{\tan^2(\theta/2) + 1} = \frac{1-t^2}{1+t^2} </math>
また {{math|''t''}} を {{math|''&theta;''}} で[[微分]]して、
:<math> \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\theta} = \frac{1}{2\cos^2(\theta/2)} = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{2} = \frac{1+t^2}{2} </math>
より、
:<math> {\rm d}\theta = \frac{2}{1+t^2} \, {\rm d}t </math>

=== 幾何的解釈 ===
[[ファイル:Tangent half-angle substitution.svg|300px|サムネイル|半角正接置換の幾何的解釈。]]
半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}} {{=}} 1}} を設定し、座標 {{math|(&minus;1, 0)}} を通過する傾き {{math|''t''}} の直線を考える。また、この直線と単位円の交点のうち、{{math|(&minus;1, 0)}} でない方を {{math|(cos ''&theta;'', sin ''&theta;'')}} とおく。するとこのとき {{math|''t'' {{=}} tan ''&theta;''/2}} であって、連立方程式：
:<math> \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y - 0 = t \, (x+1)  \end{cases} \qquad {\rm where} \quad x \neq -1</math>
が成り立つ。これを {{math|''x''}} 、{{math|''y''}} について解けば、
:<math> x = \frac{1-t^2}{1+t^2} ,\quad y = \frac{2t}{1+t^2} </math>
すなわち、
:<math> \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} ,\quad \sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} </math>
が導かれる。

== 例 ==
=== [[正割]] ===
次の積分：
:<math> I = \int \csc x \, {\rm d}x = \int \frac{{\rm d}x}{\sin x} </math>
を解くことを考える。置換 {{math|''t'' {{=}} tan ''x''/2}} を用いれば、
:<math> \begin{align} I &= \int \csc x \, {\rm d}x = \int \frac{{\rm d}x}{\sin x} \\[3pt] &= \int \frac{1+t^2}{2t} \frac{2}{1+t^2} \, {\rm d}t & t = \tan\dfrac{x}{2} \\[3pt] &= \log |t| +C \\[3pt] &= \log \biggl| \!\tan\frac{x}{2} \biggr| +C \end{align} </math>
のように求まる。ただし、ここで {{math|''C''}} は[[積分定数]]である。また、この積分は {{math|''t'' {{=}} tan ''x''/2}} と置換せずとも、{{math|''u'' {{=}} csc ''x'' &minus; [[余接|cot]] ''x''}} と置換することによって、
:<math> \begin{align} I &= \int \csc x \, {\rm d}x \\[3pt] &= \int \frac{\csc x \, (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, {\rm d}x \\[3pt] &= \int \frac{\csc^2 x - \cos x}{\csc x - \cot x} \, {\rm d}x \\[3pt] &= \int \frac{{\rm d}u}{u} & u = \csc x - \cot x \\[3pt] &= \log|u| +C \\[3pt] &= \log|\!\csc x - \cot x| + C \\[3pt] & = \log\biggl|\!\tan\dfrac{x}{2}\biggr| +C & \csc x - \cot x = \tan\dfrac{x}{2} \end{align} </math>
のように求まる。

== 双曲線関数 ==
三角関数と同じように、[[双曲線関数]]でも半角置換が存在する。すなわち、
:<math> t = \tanh \frac\theta2 </math>
の置換によって、
<math display=block>
\begin{align}
&\sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2}, \\[3pt]
&\coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t}, \quad \operatorname{sech} \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \operatorname{csch}\theta = \frac{1 - t^2}{2t}, \\[3pt]
&\text{and} \quad {\rm d}\theta = \frac{2}{1- t^2}\,{\rm d}t.
\end{align}
</math>{{reflist|40em}}
が導かれる。これにより、[[グーデルマン関数]]およびその[[逆関数]]の具体的な数式の導出についても応用できることが分かる。

==参考文献==
* {{cite book |last=Courant |first=Richard |authorlink=Richard Courant |year=1937 |orig-year=1934 |title=Differential and Integral Calculus |volume=1 |publisher=Blackie & Son |chapter=1.4.6. Integration of Some Other Classes of Functions §1–3 |pages=234–237 |chapter-url=https://archive.org/details/differentialinte0001cour/page/234 |chapter-url-access=registration}}
* {{Cite book |last=Edwards |first=Joseph |year=1921 |title=A Treatise on the Integral Calculus |volume=1 |publisher=Macmillan |chapter=§1.6.193 |chapter-url=https://archive.org/details/treatiseonintegr01edwauoft/page/187 |pages=187–188}}
* {{cite book |last=Hardy |first=Godfrey Harold |authorlink=G. H. Hardy |year=1905 |title=The integration of functions of a single variable |chapter=VI. Transcendental functions |publisher=Cambridge |chapter-url=https://archive.org/details/integrationoffun00hardrich/page/42 |pages=42–51}} Second edition 1916, [[iarchive:integrationoffun00hard/page/52/|pp. 52–62]]
* {{cite book |last=Hermite |first=Charles |year=1873 |authorlink=Charles Hermite |title=Cours d'analyse de l'école polytechnique |volume=1 |chapter=Intégration des fonctions transcendentes |trans-chapter=Integration of transcendental functions |lang=fr |publisher=Gauthier-Villars |chapter-url=https://archive.org/details/coursdanalysedel01hermuoft/page/320 |pages=320–380}}

* [https://planetmath.org/WeierstrassSubstitutionFormulas Weierstrass substitution formulas] at [[PlanetMath]]
{{Integral}}

{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:はんかくせいせつへんかん}}
[[Category:変数 (数学)]]
[[Category:三角関数]]
[[Category:積分法]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]