南極定理のソースを表示

{{暫定記事名|date=2023年11月}}

[[File:Suedpolsatz nordpol.svg|thumb|upright=1.5|南極 S と北極 N に関する拡張南極定理]]

'''南極定理'''（なんきょくていり、独: Südpolsatz）は、三角形に関する[[幾何学]]の[[定理]]である。その主張は、三辺の長さが相異なる三角形において、ある一辺の[[二等分線#線分の二等分線|垂直二等分線]]と、その辺に対向する[[二等分線#角の二等分線|角の二等分線]]は、[[外接円]]上で[[交点 (数学)|交わる]]というものである。この交点は'''南極'''とも呼ばれる。対応する外角の二等分線もまた、垂直二等分線と外接円上で交わる。この交点を（南極とは逆に）'''北極'''とも呼ぶ。これら二つの命題をあわせて'''拡張南極定理'''と呼ぶ。

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== 命題 ==
導入部の記述では、二等辺三角形と正三角形の場合を除外している。垂直二等分線と角の二等分線が同一になり、交点が存在しないケースがありうるからである。これらのケースは、以下のように定式化してまとめることができる。

:任意の三角形において、内角の二等分線および外角の二等分線はそれぞれ、その内角の対辺の垂直二等分線と外接円の二つある交点のうちどちらか一つを通る。


== 証明 ==
[[File:Suedpolsatz.svg|thumb|upright=1.5|南極定理]]

# 垂直二等分線を <math>m_c</math>、角の二等分線を <math>w_\gamma</math> として説明する。垂直二等分線 <math>m_c</math> と外接円との交点のうち、AB について C と異なる側の方を S と定義する。U を外接円の中心とすると、弧 AS に対する[[円周角|円周角と中心角の関係]]より、角 ACS は 角 AUS の半分の大きさである。同様にして、角 SCB は角 SUB の半分の大きさである。角 AUS と角 SUB は[[線対称|対称性]]により同じ大きさであるから、角 ACS と角 SCB は同じ大きさになる。すなわち、S は角 <math>\gamma = \angle ACB</math> の二等分線上にある。よって垂直二等分線と角の二等分線との交点は S と一致し、それは外接円上にある。
# S は AB の垂直二等分線上にあるので、対称性より辺 AS と 辺 BS は同じ長さになる。円周角の定理より、同じ長さの弦に対する円周角は同じ大きさなので、頂点 C と 弦 AS および 弦 BS によって作られる角は同じ大きさである。したがって CS は C の角の二等分線であり、外接円上で垂直二等分線と交わる。

== 関連項目 ==
* [[トリリウムの定理]]：トリリウムの定理に登場する円の中心が本定理の南極に相当する。

== 参考文献 ==
* H.K. Dass, Rama Verma, Bhagwat S. Sharma: ''S.Chand’S Mathematics For Class IX Term II''. S. Chand Publishing, 2011, ISBN 9788121938464, P. [https://books.google.de/books?id=y01LAgAAQBAJ&pg=PA165 165–166] (ドイツ語)

== 外部リンク ==
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<!-- * Franz Hofbauer: [http://www.mat.univie.ac.at/~fh/geometrie.pdf ''Geometrie und Lineare Algebra für das Lehramt'']. Skript, Uni Wien, Seite 24, Satz 33 (enthält ähnlichen Beweis) -->
* Lucas Mann: [https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~schadema/msg/source_7b/kurs7d_script.pdf ''Skript zum MSG-Zirkel'']. mathematische Schülergesellschaft Leonard Euler の講義ノート, P. 51, 練習問題 5.16 (ドイツ語)
* [[Dörte Haftendorn]]: [https://web.archive.org/web/20191110082357/http://haftendorn.uni-lueneburg.de/geo/kreis/suedpolsatz.pdf ''Südpolsatz'' (アーカイブ]  – 図と証明 (pdf, ドイツ語)
* Walter Fendt: [https://www.walter-fendt.de/html5/mde/tl/tl_southpole_de.htm Der Südpolsatz] (ビジュアライザー, ドイツ語)
* [https://mmf.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/GB-Suedpolsatz.pdf ''Grundlagen - Südpolsatz''] Mathematik macht Freu(n)de (ウィーン大学, ドイツ語)

[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
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