単位分数のソースを表示

[[数学]]において、'''単位分数'''(たんいぶんすう、''unit fraction'')とは、[[分数]]として書かれる[[有理数]]のうち、[[分子]]が {{math|[[1]]}} であり、[[分母]]が[[自然数]]であるものをいう。つまり、自然数 {{mvar|n}} の[[逆数]] {{math|{{sfrac|1|''n''}}}} で表される。単位分数は大きい順に
:{{math|{{sfrac|1|1}}, {{sfrac|1|2}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|5}}, …}}
である。

[[エジプト式分数]]など、単位分数に制限したときの数の性質がいくつか知られている。

== 初等算術 ==
任意の2つの単位分数の[[乗法|積]]はまた、単位分数になる。
:<math>\frac1x \times \frac1y = \frac1{xy}.</math>
しかし、任意の2つの単位分数の[[加法|和]]、[[減法|差]]、[[除法|商]]は一般には単位分数とはならない。
:<math>\frac1x + \frac1y = \frac{x+y}{xy}</math>

:<math>\frac1x - \frac1y = \frac{y-x}{xy}</math>

:<math>\frac1x \div \frac1y = \frac{y}{x}.</math>

== 合同算術 ==
[[最大公約数]]の計算において、合同式の除法の計算を減らすため、単位分数は重要な役目を果たす。具体的には、法を ''y'' とし、値 ''x'' で除算をしたいとする。''x'' で割るためには、''x''と''y''は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]でなければならない。次に、最大公約数のための{{仮リンク|拡張ユークリッドの互除法|en|Extended Euclidean algorithm}}により、
:<math>\displaystyle ax + by = 1</math>
を満たす ''a'', ''b''が見つかる。それから、
:<math>\displaystyle ax \equiv 1 \pmod y</math>
が分かる。あるいは同じことであるが、
:<math>a \equiv \frac1x \pmod y</math>
である。従って、（''y'' を法として）''x'' によって割るためには、代わりに、''a'' を掛ければよい。

== 単位分数の有限和 ==
{{Main|{{仮リンク|逆数の和の一覧|label=逆数の有限和の一覧|en|List of sums of reciprocals#Finitely many terms}}}}

任意の正の有理数は、複数の方法で、単位分数の和として書くことができる。 例えば、 
:<math>\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}</math>
のようにである。古代エジプト文明では、一般の有理数を表すため、いくつかの単位分数の和を用いた。そのため、そのような和はしばしば[[エジプト式分数]]と呼ばれる<ref>{{citation
 | last = Guy | first = Richard K. | author-link = Richard K. Guy
 | contribution = D11. Egyptian Fractions
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-387-20860-2
 | page = 252–262
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = Unsolved problems in number theory
 | year = 2004}}.</ref>。現代でも[[数論]]の分野において、エジプト式分数に関する[[数学上の未解決問題]]が多く残されていることもあり、研究が行われている。例えば、{{仮リンク|エルデシュ・シュトラウス予想|en|Erdős–Straus conjecture}}や{{仮リンク|エルデシュ・グラハム予想|en|Erdős–Graham problem}}、[[調和数]]は無限に存在するか、などの問題は今なお未解決である。

[[幾何学的群論]]において、{{仮リンク|三角群|en|triangle groups}}に関連する単位分数の和が、1より大きい、1に等しい、または1未満かどうかに応じて、球面的、ユークリッド的、または双曲的による場合に分類される。

== 単位分数の無限和 ==
{{Main|{{仮リンク|逆数の和の一覧|label=逆数の無限和の一覧|en|List of sums of reciprocals#Infinitely many terms}}}}

多くの知られた[[級数|無限級数]]は、単位分数の項を持つ。例えば以下のようなものがある。

* [[調和級数]]は、全ての単位分数の[[総和]]である。これらは発散し、その部分和
:: <math>\frac11+\frac12+\frac13+\dotsb+\frac1n</math>
である[[調和数 (発散列)|調和数]]''H''<sub>''n''</sub> の増大度は ''n'' の[[自然対数]] ln(''n'') と同程度の速さである。

* [[バーゼル問題]]は、全ての[[平方数]]の単位分数の総和であり、その値は[[円周率|{{π}}]]<sup>2</sup>/6である。

* [[アペリーの定数]]は、全ての[[立方数]]の単位分数の総和である。

* [[幾何級数]]における2の冪の逆数の総和や、[[フィボナッチ数列の逆数和]]などは単位分数の総和の例である。

== 単位分数の行列 ==
[[ヒルベルト行列]]は、以下のように定義された行列である。
:<math>B_{i,j} = \frac1{i+j-1}.</math>
この行列の[[逆行列]]は、全ての要素が整数である<ref>{{citation
 | last = Choi | first = Man Duen
 | doi = 10.2307/2975779
 | mr = 701570
 | issue = 5
 | journal = The American Mathematical Monthly
 | pages = 301–312
 | title = Tricks or treats with the Hilbert matrix
 | volume = 90
 | year = 1983}}.</ref>。同様に、{{harvtxt|Richardson|2001}}は以下のように行列を定義した。
:<math>C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},</math>
ここで''F''<sub>i</sub>は、''i''番目の[[フィボナッチ数]]である。彼は、この行列を'''フィルベルト行列'''(''Filbert matrix'')と呼んだ。これはヒルベルト行列と同じように、逆行列の全ての要素が整数となる<ref>{{citation
  | last = Richardson | first = Thomas M.
  | title = The Filbert matrix
  | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
  | volume = 39
  | issue = 3
  | year = 2001
  | pages = 268–275
  | arxiv = math.RA/9905079
  | bibcode = 1999math......5079R
  | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/39-3/richardson.pdf}}</ref>。

== 分数の隣接 ==
二つの分数の差が単位分数となるとき、2つの分数は'''隣接する'''(''adjacent'')という<ref>{{PlanetMath|urlname=AdjacentFraction|title=Adjacent Fraction}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Adjacent Fraction |id=AdjacentFraction}}</ref>。

==  確率・統計における単位分数  ==
[[離散一様分布]]において、全ての[[確率]]は等しい単位分数である。{{仮リンク|無差別原理|en|principle of indifference}}のため、統計の計算において頻繁にこの形の確率が生じる<ref>{{citation|page=66|title=Aspects of statistical inference|volume=246|series=Wiley Series in Probability and Statistics|first=Alan H.|last=Welsh|publisher=John Wiley and Sons|year=1996|isbn=978-0-471-11591-5}}.</ref>。さらに、[[ジップの法則]]は出現頻度が''n'' 番目に大きい要素が全体に占める割合が1/''n''に比例するという経験則を述べる<ref>{{citation|title=Theory of Zipf's Law and Beyond|volume=632|series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems|first1=Alexander|last1=Saichev|first2=Yannick|last2=Malevergne|first3=Didier|last3=Sornette|publisher=Springer-Verlag|year=2009|isbn=978-3-642-02945-5}}.</ref>。

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
*{{Mathworld | title = Unit Fraction | urlname = UnitFraction}}
* {{Kotobank}}

{{DEFAULTSORT:たんいぶんすう}}
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[[Category:1]]
[[Category:算数]]
[[Category:数学に関する記事]]