単位球面のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年5月}}
[[ファイル:Vector norms.svg|frame|right|様々な単位球面]]
'''単位球面'''（たんいきゅうめん、[[英語|英]]: unit sphere）とは、中心点からの[[距離]]が1の点の集合である。なお、ここでの距離とは一般的な距離の概念である。一方、'''単位球'''（たんいきゅう、英: unit ball）は、中心点からの距離が1以下の点の集合（閉単位球 (closed unit ball)）、あるいは1未満の点の集合（開単位球 (open unit ball)）である。通常、特に断らない限り、対象とする空間の[[原点]]を中心点とする。したがって英語で何の前置きもなく "the" をつけて書かれている場合は、原点を中心点とする単位球面や単位球を指す。

単純に言い換えれば、単位球面は[[半径]]が1の[[球面]]であり、単位球は半径が1の[[球]]である。任意の球面は平行移動と拡大・縮小によって単位球面に変換でき、この点が重要である。したがって、球面の研究は一般に単位球面を研究することに還元できる。

== ユークリッド空間での単位球 ==
''n''次元の[[ユークリッド空間]]では、単位球面を <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> という点の集合としたとき、次の式が成り立つ。

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1</math>

そして、閉単位球の全ての点の集合については、次の[[不等式]]が成り立つ。

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1</math>

=== 面積と体積の一般的な式 ===
最初に、単位球面の古典的な式が半径1でx軸、y軸、z軸で違いがない楕円面の式となることは重要である。
:<math>f(x,y,z) =  x^2 + y^2 + z^2 = 1</math>

''n''次元ユークリッド空間の単位球の体積と単位球面の面積は、[[解析学]]の様々な重要な方程式に出てくる。''n'' 次元の単位球体の体積 ''V''<sub>''n''</sub> は[[ガンマ関数]]を用いて書くことができる。

:<math>V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \text{if}\;\;n \ge 0\;\;\text{is even,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \text{if}\;\;n \ge 0\;\;\text{is odd,}
\end{cases} </math>

ここで ''n''<nowiki>!!</nowiki> は[[二重階乗]]であり、<math>\lfloor\cdot\rfloor,\lceil\cdot\rceil</math> は[[床関数と天井関数]]である。

(''n''&minus;1) 次元単位球面の超体積（すなわち ''n'' 次元単位球体の表面積）''A''<sub>''n''</sub> は次のように表せる

:<math>A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,</math>
ただし最後の等号は ''n''&nbsp;>&nbsp;0 に対してのみ成り立つ。

いくつかの <math>n</math> に対応した表面積と体積は次のようになる。

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! <math>n</math>
! colspan=2|<math>A_n</math> （表面積）
! colspan=2|<math>V_n</math> （体積）
|-
! 0
| <math>0(1/0!)\pi^0 </math> || 0 || <math>(1/0!)\pi^0 </math> || 1 
|-
! 1
| <math>1(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2 || <math>(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2 
|-
! 2
| <math>2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi </math> || 6.283 || <math>(1/1!)\pi^1 = \pi </math> || 3.141 
|-
! 3
| <math>3(2^2/3!!)\pi^1  = 4 \pi </math> || 12.57 || <math>(2^2/3!!)\pi^1  = (4/3)\pi </math> || 4.189 
|-
! 4
| <math>4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 </math> || 19.74 || <math>(1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 </math> || 4.935 
|-
! 5
| <math>5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 </math> || 26.32 || <math>(2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 </math> || 5.264 
|-
! 6
| <math>6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 </math> || 31.01 || <math>(1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 </math> || 5.168 
|-
! 7
| <math>7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 </math> || 33.07 || <math>(2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 </math> || 4.725 
|-
! 8
| <math>8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 </math> || 32.47 || <math>(1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 </math> || 4.059 
|-
! 9
| <math>9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 </math> || 29.69 || <math>(2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 </math> || 3.299 
|-
! 10
| <math>10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 </math> || 25.50 || <math>(1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 </math> || 2.550 
|}
''n''&nbsp;≥&nbsp;2 に対する小数は近似値である。

==== 再帰 ====
''A''<sub>''n''</sub> の値は次のように再帰的に表せる。

:<math>A_0 = 0</math>
:<math>A_1 = 2</math>
:<math>A_2 = 2\pi</math>
:<math>A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}</math> for <math>n > 2</math>

''V''<sub>''n''</sub> の値は次のように再帰的に表せる。

:<math>V_0 = 1</math>
:<math>V_1 = 2</math>
:<math>V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}\text{ for }n > 1</math>

==== フラクタル次元 ====
''A''<sub>''n''</sub> および ''V''<sub>''n''</sub> の式は ''n''&nbsp;>&nbsp;0 の任意の実数について計算でき、非負整数以外の ''n'' についての球面の面積や球の体積が必要になる場合もある。

[[ファイル:Sphere_area_in_n_dimensions.svg|right|thumb|200px|''x''次元の球面の面積を ''x'' の連続関数として図示したグラフ -тут ошибка на графике, я по китайски не понимаю]]
[[ファイル:Ball_volume_in_n_dimensions.svg|none|thumb|200px|''x''次元の球の体積を ''x'' の連続関数として図示したグラフ]]

==== 他の半径 ====
{{main|球面}}
''n''次元の球面の表面積は、半径が ''r'' なら ''A''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''&minus;1</sup> となり、同様に ''n'' 次元の球の体積は、半径が ''r'' なら ''V''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''</sup> となる。例えば、半径 ''r'' の3次元の球面の表面積は {{nowrap|''A'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;2</sup>}}、半径 ''r'' の3次元の球の体積は {{nowrap|''V'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;3</sup> / 3}} となる。

== ノルム線型空間における単位球 ==
[[ノルム線型空間]] <math>V</math> で[[ノルム]]が <math>\|\cdot\|</math> のとき、'''開単位球''' (open unit ball) は次のように表される。

:<math> \{ x\in V: \|x\|<1 \}</math>

これは下記の (''V'',||·||) における'''閉単位球''' (closed unit ball) の内部 (interior) である。

:<math> \{ x\in V: \|x\|\le 1\}</math>

後者は前者の[[直和]]であり、その共通する境界が (''V'',||·||) における'''単位球面'''である。

:<math> \{ x\in V: \|x\| = 1 \}</math>

単位球の形状は、どういうノルムを選択するかで大きく異なる。角のある形状になる場合もあり、例えば ''R''<sup>''n''</sup> にてノルム ''l''<sub>&infin;</sub> を採用すると [&minus;1,1]<sup>''n''</sup> のようになる。丸い球形は、[[ユークリッド空間|ユークリッド距離]]で有限次元の場合に一般的な[[ヒルベルト空間]]ノルムを採用した場合と理解できる。その境界がいわゆる単位球面となる。

== 一般化 ==
=== 距離空間 ===
これまでの定義は、選択した原点についての[[距離空間]]で直接的に一般化できる。しかし位相幾何学的な概念（内部、閉包、境界）をそのまま適用する必要はない。一部の距離空間では、単位球面が空の場合もある。

=== 二次形式 ===
線型空間 ''V'' に実数の[[二次形式]] ''F'':''V'' &rarr; R があるとき、{ x &isin; ''V'' : ''F''(x) = 1 } を ''V'' の'''単位球面'''と呼ぶことがある。2次元の例として[[分解型複素数]]と[[二元数]]がある。''F'' が負の値をとるとき、{x &isin; ''V'': ''F''(x) = &minus; 1} を'''反球''' (counter-sphere) と呼ぶ。

== 関連項目 ==
*[[単位円]]
*[[球面]]
*[[球]]
*[[フラクタル次元]]
*[[数学記号の表]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | urlname = UnitSphere | title = Unit sphere}}

{{DEFAULTSORT:たんいきゆうめん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:1]]

[[es:1-esfera]]