単位行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2017-05}}
{{distinguish|行列単位}}
[[数学]]、特に[[線型代数学]]において、'''単位行列'''（たんいぎょうれつ、{{lang-en-short|identity matrix}}, {{lang-de-short|Einheitsmatrix}}）とは、[[単位的環]]上で定義される同じ[[行列#型|型]]の[[正方行列]]同士の、[[二項演算|積演算]]における[[単位元]]のことである。

== 構成 ==
単位行列はその[[主対角線|対角成分]]に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を {{math|''a''{{sub|''i'', ''j''}}}} とすると次のように書ける。
:<math>a_{i,j} = \left\{ \begin{matrix}
1 &(i=j) \\
0 &(i \ne j)
\end{matrix}\right.</math>
ただし、1, 0 は係数環の単位元と[[加法単位元|零元]]である。
:<math>\begin{bmatrix}
1 &0 &\cdots &0 \\
0 &1 &\cdots &0 \\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
0 &0 &\cdots &1
\end{bmatrix}</math>

== 表記法 ==
{{mvar|n}}次単位行列は {{mvar|E{{sub|n}}}} や {{mvar|I{{sub|n}}}} と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に {{mvar|E}} や {{mvar|I}} とも書かれる。

対角行列の記法を用いて {{math2|1=''I{{sub|n}}'' = diag(1, 1, …, 1)}} と書ける。

[[クロネッカーのデルタ]]を用いると、{{math2|1=''E{{sub|n}}'' = (δ{{sub|''i'',''j''}})}} と表すことができる。

== 性質 ==
*単位元である ({{math2|1=''AI'' = ''IA'' = ''A''}})
*[[正方行列]]である
*[[対角行列]]である
*[[対称行列]]である
*[[逆行列]]は自分自身である ({{math2|1=''I''{{sup|&minus;1}} = ''I''}})
*[[固有値]]はすべて1
*[[特異値]]はすべて1
*[[行列式]]は1 ({{math2|1=det(''I'') = 1}}）

== スカラー行列との関連 ==
単位行列を[[スカラー (数学)|スカラー]]倍したものを{{Visible anchor|'''スカラー行列'''}}という。スカラーにスカラー行列を対応させる[[写像]]が単射ならば、係数環は行列[[群論|群]]（[[線型代数群]]）あるいは[[行列環]]に[[部分群]]・[[部分環]]として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の {{mvar|n}}次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。

== 外部リンク ==
* {{Kotobank}}
* {{高校数学の美しい物語|2694|単位行列の意味と性質，1との比較}}

{{DEFAULTSORT:たんいきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]