単因子のソースを表示

[[代数学]]において、[[行列]]の'''単因子'''（たんいんし）とは、その「標準形」を定める[[不変量]]のことである。

== 定義 ==
{{mvar|D}} を[[単項イデアル整域]]（たとえば[[整数環]] {{math|'''Z'''}} や[[複素数|複素]]係数の一変数[[多項式環]] {{math|'''C'''[''x'']}} などの[[ユークリッド整域]]）とする。また {{math|M<sub>''n''&times;''m''</sub>(''D'')}} を {{mvar|D}} 成分の {{math|''n''&times;''m''}} 行列全体とし、特に {{math|''m'' {{=}} ''n''}} のときは、これを {{math|M<sub>''n''</sub>(''D'')}} と表すことにする。すべての行列 {{math|''A'' &isin; M<sub>''n''&times;''m''</sub>(''D'')}} は、ある[[可逆行列]] {{math|''P'' &isin; M<sub>''n''</sub>(''D'')}} と {{math|''Q'' &isin; M<sub>''m''</sub>(''D'')}} を使って次の形に変形できる{{sfn|Jacobson|2009|loc=Theorem 3.8}}。
:<math>
 PAQ
 =
 \begin{pmatrix}
 e_1 &        &     &   &        \\
     & \ddots &     &   &        \\
     &        & e_r &   &        \\
     &        &     & 0 &        \\
     &        &     &   & \ddots
 \end{pmatrix}
</math>
ここで {{math|''e''<sub>1</sub>, &hellip;, ''e''<sub>''r''</sub> &ne; 0}} かつ {{math|''e''<sub>1</sub>''D'' &supe; &hellip; &supe; ''e''<sub>''r''</sub>''D''}} である。このような {{math|''e''<sub>1</sub>, &hellip;, ''e''<sub>''r''</sub>}} は[[可逆元|単数]]倍を除いて一意に定まり{{sfn|Jacobson|2009|p=185}}、これを行列 {{mvar|A}} の'''単因子'''という。右辺の行列は {{mvar|A}} の'''スミス標準形''' {{lang|en|Smith normal form}}{{sfn|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=181}} あるいは'''単因子標準形'''と呼ばれる。
この行列 {{math|''P'', ''Q''}} は[[行列の基本変形]]を積み重ねることにより求められる{{sfn|Jacobson|2009|p=182}}。

== 性質 ==
{{mvar|F}} を[[可換体|体]]とする。
* 2つの行列 {{math|''A'', ''B'' &isin; M<sub>''n''</sub>(''F'')}} が[[行列の相似|相似]]であるための[[必要十分条件]]は、2つの行列 {{math|''xI'' &minus; ''A'', ''xI'' &minus; ''B'' &isin; M<sub>''n''</sub>(''F''[''x''])}} の単因子が一致することである{{sfn|斎藤|1966|loc=系6.1.4, 定理6.1.8}}。 

* 行列 {{math|''A'' &isin; M<sub>''n''</sub>(''F'')}} の[[最小多項式 (線型代数学)|最小多項式]]は、行列 {{math|''xI'' &minus; ''A'' &isin; M<sub>''n''</sub>(''F''[''x''])}} の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する{{sfn|斎藤|1966|loc=定理6.3.3}}。

== 例 ==
{{mvar|D}} を[[複素数|複素]]係数の一変数[[多項式環]] {{math|'''C'''[''x'']}} とする。次の行列 {{math|''A'' &isin; M<sub>2</sub>('''C'''[''x''])}} の単因子は[[可逆行列]] {{math|''P'', ''Q'' &isin; M<sub>2</sub>('''C'''[''x''])}} として以下の行列を取れば {{math|1, (''x'' &minus; ''&lambda;'')<sup>2</sup>}} とわかる。
:<math>
 A
 =
 \begin{pmatrix}
  x - \lambda & -1          \\
              & x - \lambda
 \end{pmatrix}
</math>
:<math>
 P
 =
 \begin{pmatrix}
  1 &             \\
  x - \lambda & 1   
 \end{pmatrix},
 \qquad
 Q
 =
 \begin{pmatrix}
  1            &   \\
  x - \lambda  & 1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
     & 1 \\
  -1 & 
 \end{pmatrix}
</math>
:<math>
 PAQ
 =
 \begin{pmatrix}
  1 &                  \\
     & (x - \lambda)^2 
 \end{pmatrix}
</math>

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1     = Hazewinkel
|first1    = M.
|last2     = Gubareni
|first2    = N.
|last3     = Kirichenko
|first3    = V. V.
|year      = 2004
|title     = Algebras, Rings and Modules
|volume    = 1
|publisher = Kluwer Academic Publishers
|isbn      = 1-4020-2690-0
|ref       = harv
}}
* {{Cite book
|last1     = Jacobson
|first1    = Nathan
|year      = 2009
|title     = Basic Algebra I
|edition   = Second
|publisher = Dover
|isbn      = 978-0-486-47189-1
|url       = https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA181#v=onepage&q&f=false
|ref       = harv
}}
* {{Cite book|和書
|author=斎藤正彦|authorlink=斎藤正彦
|year      = 1966
|title     = [http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html 線型代数入門]
|edition   = 初版
|publisher = 東京大学出版会
|isbn      = 978-4-13-062001-7
|ref       = harv
}}
* 木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純：「代数の魅力」、数学書房、ISBN 978-4-903342-11-5 (2009年9月10日)　の第2.4節と第2.5節。

== 関連項目 ==
* [[有限生成アーベル群#不変因子分解|有限生成アーベル群の基本定理]]
* [[ジョルダン標準形]]
* [[主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=InvariantFactor|title=Invariant Factor}}

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:たんいんし}}
[[Category:行列]]
[[Category:環論]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]