単約数のソースを表示

[[数学]]において、[[自然数]] ''a'' が ''b'' の'''単約数'''（{{lang-en-short|unitary divisor, Hall divisor}}）であるとは ''a'' が ''b'' の[[約数]]で ''a'' と <math>\tfrac{b}{a}</math> が1より大きい公約数を持たず[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるということを意味する。同様に、''b'' の約数 ''a'' は、''a'' のすべての[[素因数]]が ''b'' と同じ[[重複度]]を持つ[[同値|場合にのみ]], 単約数である。

単約数の概念は、R. Vaidyanathaswamy (1931) が導入し<ref>{{Cite journal|last=R. Vaidyanathaswamy|year=1931|title=The theory of multiplicative arithmetic functions|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=33|issue=2|pages=579-662|doi=10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1}}</ref>、彼はそれを '''{{en|block divisor}}''' と呼んでいた。

== 具体例 ==
5は60の単約数である。というのも、5と <math>\tfrac{60}{5}=12</math> の公約数は1のみだからだ。

一方、6は60の約数だが単約数ではない。なぜなら6と <math>\tfrac{60}{6}=10</math> は1以外の公約数2を持つからだ。

== 単約数の和 ==
単約数関数はギリシャ文字のシグマを用いてσ*(''n'')と表される. 単約数の ''k'' [[冪乗|乗]]和はσ*<sub>''k''</sub>(''n'')と表され以下のようになる:

: <math>\sigma_k^*(n) = \sum_{d \,\mid\, n \atop \gcd(d,\,n/d)=1} \!\! d^k.</math>

ある数の[[約数#約数に関する定義と性質|真の]]単約数の和がその数が一致する場合, その数は単完全数であるという. 

== 性質 ==
1は全自然数の単約数.

ある数 ''n'' の単約数の個数は2<sup>''k''</sup>個である. ここで ''k'' は ''n'' の異なる素因数の個数である. これは, 各[[整数]] ''N'' > 1 が異なる素数 ''p'' の正のべき乗 ''p''<sup>''r''<sub>''p''</sub></sup> の積なので, ''N'' のすべての単約数は ''N'' の素因数 {''p''} の与えられた部分集合 ''S'' 上で,  ''p'' ∈ ''S''の素因数 ''p''<sup>''r''<sub>''p''</sub></sup> の積であることと ''S'' の部分集合がちょうど 2<sup>''k''</sup> 個あることから示すことができる.

''n'' の単約数の和は ''n'' が[[2の冪|２の冪乗]](1を含む)なら[[奇数]], そうでないなら[[偶数]].

''n'' の単約数の個数を返す関数, 和を返す関数は[[乗法的関数]]であるが完全乗法的関数ではない. [[母関数#母関数としてのディリクレ級数|ディリクレ級数]]は

: <math>\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.</math>

全ての ''n'' の約数が単約数であることと ''n'' が[[平方因子をもたない整数|無平方]]であることは同値.

== 奇単約数 ==
奇数の単約数の ''k'' 乗和は

: <math>\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d \,\mid\, n \atop d \equiv 1 \pmod 2} \atop \gcd(d,n/d)=1} \!\! d^k.</math>

これも乗法的である. ディリクレ級数は

: <math>\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.</math>

== 重単約数 ==
''n'' の約数 ''d'' が'''二重単約数'''であるとは ''d'' と ''n''/''d'' の最大単約数が1であるということである. このコンセプトは D. Suryanarayana (1972). [The number of bi-unitary divisors of an integer, in The Theory of Arithmetic Functions, Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282, New York, Springer–Verlag] が初出である.

''n'' の二重単約数の個数を返す関数は[[数論的関数の平均オーダー|平均オーダー]] <math>A \log x</math> の乗法的関数である.<ref name="Ivic395">Ivić (1985) p.395</ref> ここで, ''A'' は

: <math>A = \prod_p\left({1 - \frac{p-1}{p^2(p+1)} }\right) \ . </math>

'''二重単約完全数'''はそれ自身を除く二重単約数の和がそれ自身と等しい数のことである. そのような数は6, 60, 90のみである.

また約数(零重単約数), 単約数(一重単約数), 二重単約数の考えを一般化して, ''k'' 重単約数を次のように定義できる:

''n'' の約数 ''d'' が'''''k''重単約数'''であるとは ''d'' と ''n''/''d'' の最大(''k-1)''単約数が1であるということである. <ref>{{Cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/k-aryDivisor.html |title=k-ary Divisor |access-date=2024-03-15}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last=COHEN|first=GRAEME L.|date=january 1990|title=ON AN INTEGER'S INFINITARYDIVISORS|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1990-54-189/S0025-5718-1990-0993927-5/S0025-5718-1990-0993927-5.pdf|journal=mathematics of computation|volume=54|issue=189|pages=pp395-411}}</ref>

さらに一般化して無限重単約数も定義できる:

''n'' の約数 ''d'' が'''無限重単約数'''であるとはd, nを次のように素因数分解したとき, 任意のiに対し<math>{p_i}^{x_i}</math>が<math>{p_i}^{y_i}</math>のy-1重単約数となっているということである（ここで素数 ''p'' について<math>{p}^{x}</math>が<math>{p}^{y}</math>のy-1重単約数であることと任意の ''k'' (≧y-1≧0)に対し<math>{p}^{x}</math>が<math>{p}^{y}</math>のk重単約数となることは同値である）. <ref name=":0" />

<math>d=\prod_{i=1}^k{p_i}^{x_i},
n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{y_i}</math>

== [[オンライン整数列大辞典|OEIS]]に登録されている数列 ==
{{Hlist|{{OEIS2C|A034444}} is σ<sup>*</sup><sub>0</sub>(''n'')&nbsp;|&nbsp;{{OEIS2C|A034448}} is σ<sup>*</sup><sub>1</sub>(''n'')&nbsp;|&nbsp;{{OEIS2C|A034676}} to {{OEIS2C|A034682}} are σ<sup>*</sup><sub>2</sub>(''n'') to σ<sup>*</sup><sub>8</sub>(''n'')&nbsp;|&nbsp;{{OEIS2C|A068068}} is σ<sup>(o)*</sup><sub>0</sub>(''n'')&nbsp;|&nbsp;{{OEIS2C|A192066}} is σ<sup>(o)*</sup><sub>1</sub>(''n'')&nbsp;|&nbsp;{{OEIS2C|A064609}} is <math>\sum_{i=1}^{n}\sigma_{1}(i)</math>}}

== 関連項目 ==
* [[約数]]
* [[約数関数]]
* [[最大公約数]]
* [[互いに素]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

* {{Cite book |last=Richard K. Guy |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2004 |isbn=0-387-20860-7 |page=84}}  Section B3.
* {{Cite book |title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory |last=Paulo Ribenboim |author-link=Paulo Ribenboim |publisher=Springer-Verlag |year=2000 |isbn=0-387-98911-0 |page=352}}
* {{Cite journal|last=Cohen|first=Eckford|year=1959|title=A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion|journal=Pacific J. Math.|volume=9|issue=1|pages=13–23|doi=10.2140/pjm.1959.9.13|MR=0109806}}
* {{Cite journal|last=Cohen|first=Eckford|year=1960|title=Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=74|pages=66–80|doi=10.1007/BF01180473|MR=0112861}}
* {{Cite journal|last=Cohen|first=Eckford|year=1960|title=The number of unitary divisors of an integer|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=67|issue=9|pages=879–880|doi=10.2307/2309455|JSTOR=2309455|MR=0122790}}
* {{Cite journal|last=Cohen|first=Graeme L.|year=1990|title=On an integers' infinitary divisors|journal=Math. Comp.|volume=54|issue=189|pages=395–411|bibcode=1990MaCom..54..395C|doi=10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5|MR=0993927}}
* {{Cite journal|last=Cohen|first=Graeme L.|year=1993|title=Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer|journal=Int. J. Math. Math. Sci.|volume=16|issue=2|pages=373–383|doi=10.1155/S0161171293000456}}
* {{Cite web |first=Steven |author=Finch |title=Unitarism and Infinitarism |url=http://oeis.org/A007947/a007947.pdf |year=2004|accessdate=2024-11-10}}
* {{Cite book |last=Ivić |first=Aleksandar |title=The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications |series=A Wiley-Interscience Publication |location=New York etc. |publisher=John Wiley & Sons |year=1985 |isbn=0-471-80634-X |zbl=0556.10026 |page=395}}
* {{Cite arXiv|arxiv=1106.4038|class=math.NT|last=Mathar|first=R. J.|title=Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions}} Section 4.2
* {{Cite book |editor-last=Sándor |editor-first=József |editor2-last=Mitrinović |editor2-first=Dragoslav S. |editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav |title=Handbook of number theory I |location=Dordrecht |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2006 |isbn=1-4020-4215-9 |zbl=1151.11300}}
* {{Cite journal|last=Toth|first=L.|year=2009|title=On the bi-unitary analogues of Euler's arithmetical function and the gcd-sum function|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Toth2/toth5.html|journal=J. Int. Seq.|volume=12}}

== 外部リンク ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=UnitaryDivisor|title=Unitary Divisor}}
* [https://mathoverflow.net/questions/369751/boolean-ring-of-unitary-divisors-structure-of-unitary-divisors Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors]


{{Divisor classes}}
{{DEFAULTSORT:たんやくすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]