単純群のソースを表示

{{Groups}}
数学において、'''単純群''' (たんじゅんぐん、{{lang-en-short|simple group}}) とは、自明でない[[正規部分群]] (それ自身と[[自明群]] (単位群 {{math|{{mset|''e''}}}}) 以外の正規部分群) を持たず、またそれ自身も自明群ではない[[群 (数学)|群]]である。単純群は自明でない正規部分群を持たないので当然[[直既約群]]であるが、直既約群は必ずしも単純群ではない (下の例参照)。

群に[[組成列|主組成列]]が存在すれば、有限個の直既約群の[[群の直積|直積]]に一意的に分解される ([[クルル・レマク・シュミットの定理]])。しかし、上記の理由により、必ずしも有限個の単純群の直積に分解されるとは限らない。もし、群が有限個の単純群の直積に分解可能であれば、その群は'''完全可約群'''または'''半単純群'''であるという。また、その場合に限って、主組成列の長さと直積の成分である単純群の個数は一致する<ref name="Asano,Nagao_1965">浅野啓三・永尾汎　『群論』、岩波書店〈岩波全書〉、1965年、pp102-104。</ref>。

== 例 ==
=== 有限単純群 ===
3を[[整数の合同|法]]とした[[同値類]]([[合同算術]]を参照)によってできる[[巡回群]] ''G'' = '''Z'''/3'''Z''' は単純群である。''H'' をこの群の部分群とすると、その[[位数 (群)|位数]](要素の数)は ''G'' の位数(3)の[[約数]]である必要がある。3は[[素数]]なので、約数は1と3のみである。よって ''H'' は ''G'' と一致するか、あるいは[[自明な群]]である。一方で、群 ''G'' = '''Z'''/12'''Z''' は単純群ではない。それぞれ0,4,8の法12における同値類を要素としてもつ集合''H''は位数3の部分群であり、[[アーベル群]]の任意の部分群は正規部分群であるため、 ''H'' は正規部分群である。同様に、[[整数]]の[[加法群]] {{mathbf|Z}} は単純群ではない:偶数全体の集合は自明でない真の部分群であり、したがって正規部分群である。{{sfn|Knapp|2006|p= {{Google books quote|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z|170}}}}

同じような考察を任意の[[アーベル群]]に対して行うと、単純なアーベル群は[[素数]]位数の巡回群のみであることがわかる。非アーベル単純群に対する分類はずっと難解である。最小の非アーベル単純群は位数60の[[交代群]] ''A''<sub>5</sub>であり、任意の位数60の単純群は ''A''<sub>5</sub>に[[同型]]である。{{sfn|Rotman|1995|p= {{Google books quote|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic|226}}}}二番目に小さい非アーベル単純群は位数168の[[射影特殊線型群]]PSL(2,7)であり、任意の位数168の単純群はPSL(2,7)に同型であることが証明できる。{{sfn|Rotman|1995|p= 281}}{{sfn|Smith|Tabachnikova|2000|p= {{Google books quote|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic|144}}}}

=== 無限単純群 ===
無限交代群<math>A_\infty</math>、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群<math>A_n</math>の (標準埋め込み <math>A_n\to A_{n+1}</math>に関する) 単調増加列の合併として定義できる。ほかの無限単純群の族の例としては、<math>PSL_n(F)</math>(<math>F</math>は体、<math>n\geq 3</math>)がある。

''有限生成である'' 無限単純群を構成するのはもっと難しい。最初の例は{{仮リンク|グラハム・ヒグマン|en|Graham Higman}}によるもので、{{仮リンク|ヒグマン群|en|Higman group}}の商群である。<ref>{{Citation | last1=Higman | first1=Graham | author1-link=Graham Higman | title=A finitely generated infinite simple group | doi=10.1112/jlms/s1-26.1.59  | id={{MR|0038348}} | year=1951 | journal=Journal of the London Mathematical Society. Second Series | issn=0024-6107 | volume=26 | issue=1 | pages=61–64}}</ref>他の例は[[トンプソン群|無限トンプソン群]] ''T'' と ''V'' を含む。[[群の表示|有限表示]]のねじれのない<!-- torsion-free --->無限単純群はBurgerとMozesにより構成された。<ref>{{citation|first=M. |last= Burger |first2= S. |last2= Mozes |title= Lattices in product of trees. | journal= Publ. Math. IHES | volume= 92 | year= 2000 | pages= 151–194}}</ref>

=== 直既約群であるが単純群ではない例 ===
''G'' を位数が素数の冪 {{mvar|p{{exp|r}}}} ({{mvar|p}} は素数、{{mvar|r}} は2以上の自然数) である[[巡回群]]とすれば、''G'' の自明でない部分群 (''G'' 自身および自明群 {{math|{{mset|''e''}}}} 以外の部分群) の位数は {{mvar|p{{exp|s}}}} ({{mvar|s}} は {{math|1 &le; ''s'' < ''r''}} である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数が {{mvar|p{{exp|r}}}} の元 (''G'' の生成元) を含むような群にはならない。従って、''G'' はこれ以上直積に分解することはできないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。

== 分類 ==
一般の単純群については分類はまだ存在しない。

=== 有限単純群 ===
{{main|有限単純群の一覧|有限単純群の分類}}
[[有限単純群の一覧|有限単純群]]は、それがすべての有限群の「基本的な構成部品」<!-- basic building blocks --->となっているという意味で重要である。これは[[素数]]が[[整数]]の基本的な構成部品となっていることに似ている。これは[[ジョルダン・ヘルダーの定理]]という、与えられた群の任意の二つの[[組成列]]は長さが等しく、[[順序]]と[[同型]][[違いを除いて|を除いて]]同じ因子を持つという定理が表現していることである。多くの共同研究により[[ダニエル・ゴーレンシュタイン|ダニエル・ゴレンスタイン]]は1983年に[[有限単純群の分類]]が完成したと宣言したが、いくつかの問題が現れた<!-- surfaced ---> (特に2004年に解決した<!-- were plugged in 2004 --->、{{仮リンク|準薄群|en|quasithin group}}{{efn|http://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp04_files/harada.pdf による訳}}の分類)。

手短に言えば、有限単純群は18の族のいずれかに属するか、26の例外の一つであるかのどちらかに分類される。
* {{mvar|C{{sub|p}}}} – [[素数]]位数の[[巡回群]]
* {{mvar|A{{sub|n}}}} – [[交代群]](<math>n \geq 5</math>)
*:交代群は[[一元体]]上のリー型の群と考えることもでき、その場合は次の族に分類することもできるので、非アーベル有限単純群の族はすべてリー型の群であるとも見なせる。
* [[リー型の群]]の16種類の族の一つ
*:{{仮リンク|ティッツ群|en|Tits group}}は一般的にこの形をしていると考えられる。しかし厳密にいえば、それはリー型の群ではなく、リー型の群の[[部分群の指数|指数]]2の部分群である。
* 26種類の例外、[[散在群]]の一つ。そのうち20種類は[[モンスター群]]の部分群または{{ill2|部分商|en|subquotient}}であり、"Happy Family"と呼ばれている。残りの6種類は[[:en:pariah group|pariah]]と呼ばれている。

== 有限単純群の構造 ==
[[ウォルター・ファイト|ファイト]]と[[ジョン・グリッグス・トンプソン|トンプソン]]による有名な[[ファイト・トンプソンの定理|定理]]によれば、任意の奇数位数の群は[[可解群]]である。そのためすべての有限単純群は偶数位数であるか、さもなくば素数位数の巡回群である。

{{仮リンク|シュライアー予想|en|Schreier conjecture}}によれば、任意の有限単純群の{{仮リンク|外部自己同型群|en|outer automorphism}}は可解群である。これは先の有限単純群の分類定理を使って証明できる。

== 有限単純群の歴史 ==
有限群の歴史には二つの潮流がある:特定の単純群および単純群の族の発見と構成は1820年代のガロアの仕事から1981年のモンスター群の構成までの間に行われた。そしてその有限群の一覧が完全であるという証明は、19世紀にはじまり、1955年から1983年 (完成が最初に宣言された年) の間にもっとも著しく行われた。しかしそれが一般に終わったと同意されているのは2004年である。{{as of|2010}}、証明とその理解の質を向上させる取り組みが続いている。19世紀の単純群の歴史は{{Harv|Silvestri|1979}}を参照。

===構成===
単純群は少なくとも初期の[[ガロア理論]]のころから研究されてきた。[[エヴァリスト・ガロア]]は5次以上の[[交代群]]は非可換群でありさらに単純群である (そしてそれゆえ[[可解群]]ではない) という事実に気付き、1831年に証明した (これが5次方程式が一般に解けない理由である<!-- was the reason that one could not solve the quintic in radicals --->)。ガロアはまた有限体上の平面の[[射影特殊線型群]]PSL(2, ''p'' )を構成し、''p'' が2または3でなければこれらの群は単純群になることに気付いた<!-- remarked -->。これは彼のChevalierへの最後の手紙に含まれており、<ref name="chevalier-letter">{{Citation
 | last = Galois
 | first = Évariste
 | year = 1846
 | title = Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier
 | journal = [[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]
 | volume = XI
 | pages = 408–415
 | url = http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/cb343487840/date1846
 | accessdate = 2009-02-04
 | postscript =, PSL(2,''p'') and simplicity discussed on p. 411; exceptional action on 5, 7, or 11 points discussed on pp. 411–412; GL(''ν'',''p'') discussed on p. 410}}</ref>そしてこれが次の単純群の例である。<ref name="raw">{{citation
|first=Robert
|last=Wilson
|authorlink=Robert Arnott Wilson
|date= October 31, 2006 |url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html
|title=The finite simple groups
|chapter=Chapter 1: Introduction
|chapterurl=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs_files/intro.ps
}}</ref>

次の発見は[[カミーユ・ジョルダン]]によって1870年になされた。<ref>{{citation
|first=Camille
|last=Jordan
|authorlink=Camille Jordan
|title=[[List_of_important_publications_in_mathematics#Trait.C3.A9_des_substitutions_et_des_.C3.A9quations_alg.C3.A9briques|Traité des substitutions et des équations algébriques]]
|year=1870
}}</ref>ジョルダンは素数位数の有限体上の行列で構成される単純群の族を4つ発見した。これらは今では{{仮リンク|古典群|en|classical group}}として知られている。

同じくらいの時期に、{{仮リンク|マシュー群|en|Mathieu group}}と呼ばれ{{仮リンク|エミール・レオナール・マシュー|en|Émile Léonard Mathieu}}によって1861年と1873年に最初に述べられた<!-- described --->5種類の群からなる族も、また単純群であることが示された。これらの5種類の群は無限に多くの群を構成できるわけではない方法で作られたので、[[ウィリアム・バーンサイド]]は彼の1897年の教科書の中でそれらの群を{{仮リンク|散在群|en|sporadic group}}と呼んだ。

後に古典群についてジョルダンの得た結果は、[[ヴィルヘルム・キリング]]による[[単純リー群|複素単純リー代数]]の分類に続いて、[[レオナード・E・ディクソン|レオナルド・ディックソン]]によって任意の有限体へと拡張された。またディックソンはG<sub>2</sub>型や[[E6 (数学)|E<sub>6</sub>]]型の例外的群<!-- exception group--->も構成したが、F<sub>4</sub>型やE<sub>7</sub>型やE<sub>8</sub>型のものは構成しなかった{{harv|Wilson|2009|p=2}}。 1950年代にはリー型の群についての研究がまだ続いており、[[クロード・シュヴァレー|シュヴァレー]]が1955年の論文で古典群と例外的な群についての一様な<!--uniform--->構成法を与えた。この方法ではある既知の群 (射影ユニタリー群) が省略<!--omit-->されているが、それについてはシュヴァレーの構成法を「ひねる」 (twisting)ことで得られる。残りのリー型の群はスタインベルク、ティッツ、ヘルツィッヒ (<sup>3</sup>''D''<sub>4</sub>(''q'')と<sup>2</sup>''E''<sub>6</sub>(''q'')を構成<!--produced--->した)、および鈴木とRee ({{仮リンク|鈴木-Ree群|en|Suzuki-Ree group}}を構成した) によって得られた。

これらの群 (リー型の群、巡回群、交代群、5種類の例外的マシュー群) が完全な一覧であると信じられていたが、マシューの研究から約1世紀経った<!--after a lull of...--->後、1964年に最初の{{仮リンク|ジャンコ群|en|Janko group}}が発見され、そして1965年から1975年の間に残りの20種類の散在群が発見ないし予想され、ついに1981年、{{仮リンク|ロバート・グリース|en|Robert Griess}}が{{仮リンク|バーント・フィッシャー|en|Bernd Fischer (mathematician)}}の[[モンスター群]]を構築したと発表した。モンスター群は位数808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000という、最大の散在的単純群である。モンスター群は196,884次元{{仮リンク|グリース代数|en|Griess algebra}}内の196,883次元の忠実な表現を持つ。つまりモンスター群の元は196,883次正方行列として表現できる。

=== 分類 ===
完全な分類は1962年/63年の{{仮リンク|ファイト・トンプソンの定理|en|Feit-Thompson theorem}}から始まり、主に1983年まで続いたが、2004年に終了したばかりである、ということが一般的に受け入れられている。

1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ<!-- supplied-->、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利<!-- victory --->を宣言した。これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に{{仮リンク|準薄群|en|quasithin group}}の分類の中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められ<!-- replaced --->ており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。

==単純群でないことの判定==
''Sylowの判定法'': ''n'' を素数でない正の整数とし、 ''p'' を ''n'' の素因数とする。もし ''n'' の約数の中で ''p'' を法として1と合同なものが1のみであれば、位数 ''n'' の単純群は存在しない。

証明:もし ''n'' が素数の冪であれば、位数 ''n'' bの群は自明でない[[群の中心|中心]]をもつ{{efn|たとえば[[p-群]]中の証明を見よ}}ので、単純群でない。 ''n'' が素数の冪でなければ、シロー部分群はすべて真部分群であり、シローの第三定理より、位数 ''n'' の群のシロー ''p''-部分群の個数は''p''を法として1に合同であり''n''の約数である。そのような数は1だけであるので、シロー ''p''-部分群は一意であり、従って正規部分群である。真の、自明でない正規部分群が存在したので、この群は単純群ではない。

''Burnsideの判定法'': 非可換な有限単純群の位数は少なくとも3種類の相異なる素数で割り切れる。これは[[バーンサイドの定理|バーンサイドのp-q定理]]から従う。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
==参考文献==
=== 教科書 ===
{{refbegin}}
*{{Citation | last1=Wilson | first1=Robert A. | authorlink = Robert Arnott Wilson | title=The finite simple groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 251 | isbn=978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2 | zbl=05622792 | year=2009 | postscript =, [http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html 2007 preprint]. | volume=251 |ref=harv}}
* {{Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1897|ref=harv|}}
* {{Citation |last1=Knapp |first1=Anthony W. |last2= |first2= |title=Basic algebra |url= |edition= |volume= |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-3248-9 |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Rotman |first1=Joseph J. |last2= |first2= |title=An introduction to the theory of groups |url= |edition= |series=Graduate texts in mathematics |volume=148 |year=1995 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-94285-8 |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Smith |first1=Geoff |last2=Tabachnikova |first2=Olga |title=Topics in group theory |url= |edition=2 |series=Springer undergraduate mathematics series |volume= |year=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-235-8 |doi= |ref=harv}}
{{refend}}
=== 論文 ===
{{refbegin}}
* {{cite journal|last1=Silvestri|first1=Richard|title=Simple groups of finite order in the nineteenth century|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=20|issue=3-4|year=1979|pages=313–356|issn=0003-9519|doi=10.1007/BF00327738}}
{{refend}}

== 関連項目 ==
* {{ill2|概単純群|en|Almost simple group}}
* {{ill2|特性単純群|en|Characteristically simple group}}
* {{ill2|準単純群|en|Quasisimple group}}
* {{ill2|半単純群|en|Semisimple group}}
* {{ill2|有限単純群の一覧|en|List of finite simple groups}}
*[[群 (数学)|群]]
*[[正規部分群]]

== 外部リンク ==
* {{citation|和書|last=鈴木 |first=通夫| url= https://doi.org/10.11429/sugaku1947.34.193 | title= 有限単純群の分類 | journal= 数学 | volume= 34 |year= 1982 | issue= 3 |pages= 193-210 | publisher= 日本数学会 |doi=10.11429/sugaku1947.34.193}} 
* {{MathWorld|urlname=SimpleGroup|title=Simple Group}}
* {{PlanetMath|urlname=SimpleGroup|title=simple group}}
* {{SpringerEOM|urlname=Simple_group|title=Simple group|author= Shmel'kin, A.L.}}
* {{nlab|urlname=simple+group|title=simple group}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Simple_Group|title=Definition:Simple Group}}

{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:たんしゆんくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]