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{{要改訳}}
代数幾何学では、体 k 上の[[代数多様体]]が'''線織多様体'''(ruled variety)とは、k 上の何らかの多様体と射影直線との積と[[双有理幾何学|双有理同値]]となる場合をいう。'''単線織多様体'''(uniruled variety)とは、[[有理曲線]]の族により被覆されている多様体をいう。（より詳しくは、多様体 X が単線織であるとは、ある多様体 Y と{{仮リンク|有理写像|label=支配的有理写像|en|rational mapping}}(dominant rational map) Y × '''P'''<sup>1</sup> → X が存在し、Y への射影を通して分解することができない写像であるときをいう。）この考え方は、直線により覆われるアフィン空間や射影空間の中の曲面を意味する 19世紀の幾何学の{{仮リンク|線織曲面|en|ruled surface}}(ruled surface)の考え方から現れた。単線織多様体は、多数存在するにもかかわらず、すべての多様体の中では比較的単純であると考えるられている。
<!--In [[algebraic geometry]], a [[algebraic variety|variety]] over a field ''k'' is '''ruled''' if it is [[birational geometry|birational]] to the product of the projective line with some variety over ''k''. A variety is '''uniruled''' if it is covered by a family of [[rational curve]]s. (More precisely, a variety ''X'' is uniruled if there is a variety ''Y'' and a [[rational mapping|dominant rational map]] ''Y'' × '''P'''<sup>1</sup> – → ''X'' which does not factor through the projection to ''Y''.) The concept arose from the [[ruled surface]]s of 19th-century geometry, meaning surfaces in affine space or projective space which are covered by lines. Uniruled varieties can be considered to be relatively simple among all varieties, although there are many of them.-->

== 性質 ==
標数 0 の体の上のすべての単線織多様体の[[小平次元]]は、&minus;∞ である。この逆は、3 以上の次元でも成立するであろう、つまり、標数 0 の体上の小平次元が &minus;∞ の多様体は単線織であろうと予想されている。

Boucksom, Demailly, Păun と Peternell は次の事実を示した。<ref>Boucksom, Demailly, Păun and Peternell. J. Alg. Geom. 22 (2013), 201-248. Corollary 0.3.</ref> 標数 0 の対の上の{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らかな|en|smooth scheme}}(smooth)[[射影多様体]] X が単線織であることと X の[[標準バンドル]]が擬有効でない(not pseudo-effective)こととは同値であり、これはすべての次元で成立する。（「擬有効でない」ということは、[[ネロン・セヴィリ群]]と実数のテンソル積での[[因子 (代数幾何学)#ヴェイユ因子|有効因子]]により張られる閉凸円錐(the closed convex cone)の中にないということを意味する。）<ref>前の日本語版では、「滑らかな多様体の宮岡・森の定理の結果」として、
:X を代数的閉体上の滑らかな射影多様体、<math> \mathcal K_X</math> をその[[標準バンドル]]とする。X 上に <math>C . \mathcal K_X < 0</math> となるような曲線 C が存在すれば、多様体 X は線織的である。
:特に、X が[[双有理幾何学#ネフ|ネフ]]な[[標準バンドル|反標準因子]]を持つと、線織的である X に対し、反標準因子は数値的に自明ではない。

としていた。この条件が擬有効でないを意味する。</ref> 非常に特殊なケースとして、標数 0 の体上の '''P'''<sup>n</sup> の中の次数 d の滑らかな[[超曲面]]が単線織であることと、d ≤ n とは[[随伴公式 (代数幾何学)|随伴公式]]により同値である。（実際に、'''P'''<sup>n</sup> の中の次数 d ≤ n である滑らかな超曲面は[[ファノ多様体]]であり、従って、[[有理多様体#有理連結多様体|有理連結]]である。この有理連結という条件は、単線織という条件よりも強い。）
<!--==Properties==
Every uniruled variety over a field of characteristic zero has [[Kodaira dimension]] &minus;∞. The converse is a conjecture which is known in dimension at most&nbsp;3: a variety of Kodaira dimension &minus;∞ over a field of characteristic zero should be uniruled. A related statement is known in all dimensions: Boucksom, Demailly, Păun and Peternell showed that a [[smooth scheme|smooth]] [[projective variety]] ''X'' over a field of characteristic zero is uniruled if and only if the [[canonical bundle]] of ''X'' is not pseudo-effective (that is, not in the closed convex cone spanned by [[Divisor (algebraic geometry)#effective Weil divisor|effective divisors]] in the [[Néron-Severi group]] tensored with the real numbers).<ref>Boucksom, Demailly, Păun and Peternell. J. Alg. Geom. 22 (2013), 201-248. Corollary 0.3.</ref> As a very special case, a smooth [[hypersurface]] of degree ''d'' in '''P'''<sup>''n''</sup> over a field of characteristic zero is uniruled if and only if ''d'' ≤ ''n'', by the [[adjunction formula]]. (In fact, a smooth hypersurface of degree ''d'' ≤ ''n'' in '''P'''<sup>n</sup> is a [[Fano variety]] and hence is [[rational variety#rationally connected variety|rationally connected]], which is stronger than being uniruled.)-->

非可算代数的閉体 k の上の多様体 X が単線織であることと、すべての k-[[有理点|点]]でその点を通る X 上の有理曲線が存在することとは同値である。これと対照的に、有限体上の代数的閉体 k 上の多様体では、単線織でないがすべての k-点でその点を通る有理曲線を持つような多様体が存在する。<ref>F. Bogomolov and Y. Tschinkel, Amer. J. Math. 127 (2005), 825-835. Theorem 1.1.</ref>（奇素数 p である {{overline|'''F'''}}<sub>p</sub> 上の任意の非{{仮リンク|超特異楕円曲線|label=超特異|en|supersingular elliptic curve}}(supersingular)[[アーベル多様体|アーベル曲面]]の[[#クンマー多様体|クンマー多様体]]<ref>[[アーベル多様体]]の'''{{Anchors|クンマー多様体}}クンマー多様体'''とは、すべての元をその逆元への移す写像で割った商空間である。2次元アーベル多様体のクンマー多様体を{{仮リンク|クンマー曲面|en|Kummer surface}}(Kummer surface)という。</ref>が、これらの性質を持っている。) これらの性質を持つ多様体が有理数の代数的閉体上に存在するか否かについては知られていない。

単線織性は、[[:en:Glossary of algebraic geometry#geometric property|幾何学的性質]]<ref>体の拡大 <math>E/k</math> に対して、<math>X_E=\times_{Spec\ k}Spec\ E</math> でも保存される性質を[[概型|スキーム]] X の幾何学的性質という。</ref>であることに対し、線織性は幾何学的性質ではない。たとえば、実数 '''R''' 上の '''P'''<sup>2</sup> 中のコニック(conic) x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 0 は単線織多様体であるが、線織多様体ではない。（複素数 '''C''' 上の付随する曲線は '''P'''<sup>1</sup> に同型であり、従って線織多様体である。）一般の位置にある標数 0 の代数的閉対上の次元 2 以下のすべての単線織多様体は、線織である。'''C''' 上の '''P'''<sup>4</sup> の中の滑らかな 3次 3次元多様体cubic 3-folds)と滑らかな 4次 3次元多様体(quartic 3-folds)が単線織であるが線織ではない。
<!--A variety ''X'' over an uncountable algebraically closed field ''k'' is uniruled if and only if there is a rational curve passing though every ''k''-point of ''X''. By contrast, there are varieties over the algebraic closure ''k'' of a finite field which are not uniruled but have a rational curve through every ''k''-point. (The [[Kummer variety]] of any non-[[supersingular elliptic curve|supersingular]] [[abelian variety|abelian surface]] over {{overline|'''F'''}}<sub>''p''</sub> with ''p'' odd has these properties.<ref>F. Bogomolov and Y. Tschinkel, Amer. J. Math. 127 (2005), 825-835. Theorem 1.1.</ref>) It is not known whether varieties with these properties exist over the algebraic closure of the rational numbers.

Uniruledness is a [[Glossary of algebraic geometry#geometric property|geometric property]] (it is unchanged under field extensions), whereas ruledness is not. For example, the conic ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> = 0 in '''P'''<sup>2</sup> over the real numbers '''R''' is uniruled but not ruled. (The associated curve over the complex numbers '''C''' is isomorphic to '''P'''<sup>1</sup> and hence is ruled.) In the positive direction, every uniruled variety of dimension at most 2 over an algebraically closed field of characteristic zero is ruled. Smooth cubic 3-folds and smooth quartic 3-folds in '''P'''<sup>4</sup> over '''C''' are uniruled but not ruled.-->

==正標数==
単線織性は正の標数では非常に困難なことになる。特に、[[小平次元#一般型|一般型]]であっても[[有理多様体#単有理性|単有理]]でさえある単線織な曲面が存在する。 例としては、任意の素数 p ≥ 5 に対し {{overline|'''F'''}}<sub>p</sub> での曲面 x<sup>p+1</sup> + y<sup>p+1</sup> + z<sup>p+1</sup> + w<sup>p+1</sup> = 0 がある。<ref>T. Shioda, Math. Ann. 211 (1974), 233-236. Proposition 1.</ref> 従って、単線織性は、正標数では小平次元が −∞ であることを意味しない。

多様体 X は、多様体 Y が存在し Y への射影としては分解されないような支配的<ref>有理写像 f の像が X の中で稠密となる場合を'''支配的'''という。</ref>で[[ガロア拡大#分離拡大|分離的]]な有理写像 Y × '''P'''<sup>1</sup> → X が存在するとき、'''分離的単線織'''(separably uniruled)であるという。（「分離的(Separable)」とは、微分が同一の点で全射である、このときには標数 0 では支配的な有理写像に対しては自動的に満たされる。）分離的単線織多様体は小平次元が −∞ である。次元 2 では逆も正しいが、高次元では正しくはない。たとえば、小平次元が -∞ であるが分離的な線織性をもたない滑らかな射影 3-次元多様体が {{overline|'''F'''}}<sub>2</sub> 上に存在する。<ref>E. Sato, Tohoku Math. J. 45 (1993), 447-460. Theorem.</ref> 正の標数では、すべての滑らかなファノ多様体が分離的単線織的であるか否かは知られていない。
<!--==Positive characteristic==
Uniruledness behaves very differently in positive characteristic. In particular, there are uniruled (and even [[Rational variety#Unirationality|unirational]]) surfaces of [[general type]]: an example is the surface ''x''<sup>''p''+1</sup> + ''y''<sup>''p''+1</sup> + ''z''<sup>''p''+1</sup> + ''w''<sup>''p''+1</sup> = 0 in '''P'''<sup>3</sup> over {{overline|'''F'''}}<sub>''p''</sub>, for any prime number ''p'' ≥ 5.<ref>T. Shioda, Math. Ann. 211 (1974), 233-236. Proposition 1.</ref> So uniruledness does not imply that the Kodaira dimension is −∞ in positive characteristic.

A variety ''X'' is '''separably uniruled''' if there is a variety ''Y'' with a dominant [[Separable extension|separable]] rational map ''Y'' × '''P'''<sup>1</sup> – → ''X'' which does not factor through the projection to ''Y''. ("Separable" means that the derivative is surjective at some point; this would be automatic for a dominant rational map in characteristic zero.) A separably uniruled variety has Kodaira dimension −∞. The converse is true in dimension 2, but not in higher dimensions. For example, there is a smooth projective 3-fold over {{overline|'''F'''}}<sub>2</sub> which has Kodaira dimension −∞ but is not separably uniruled.<ref>E. Sato, Tohoku Math. J. 45 (1993), 447-460. Theorem.</ref> It is not known whether every smooth Fano variety in positive characteristic is separably uniruled.-->

== 脚注 ==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{Citation | authorlink1=Fedor Bogomolov | last1=Bogomolov | first1=Fedor | last2=Tschinkel | first2=Yuri | title=Rational curves and points on K3 surfaces | year=2005 | journal=American Journal of Mathematics | volume=127 | issue=4 | pages=825-835 | doi=10.1353/ajm.2005.0025 | mr=2154371 }}
*{{Citation | last1=Boucksom | first1=Sébastien | last2=Demailly | first2=Jean-Pierre | last3=Păun | first3=Mihai | last4=Peternell | first4=Thomas | title=The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimension | journal=Journal of Algebraic Geometry | volume=22 | year=2013 | issue=2 | pages=201–248 | doi=10.1090/S1056-3911-2012-00574-8 | mr=3019449}}
*{{Citation | last1=Kollár | first1=János | author1-link=Janos Kollar | title=Rational Curves on Algebraic Varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Heidelberg | isbn=978-3-642-08219-1 | doi=10.1007/978-3-662-03276-3 | mr=1440180 | year=1996 }}
*{{Citation | last1=Sato | first1=Ei-ichi | title=A criterion for uniruledness in positive characteristic | journal=Tohoku Mathematical Journal | volume=45 | year=1993 | issue=4 | pages=447–460 |
doi=10.2748/tmj/1178225839 | mr=1245712}}
*{{Citation | last1=Shioda | first1=Tetsuji | title=An example of unirational surfaces in characteristic ''p'' | journal=Mathematische Annalen | volume=211 | year=1974 | pages=233-236 | doi=10.1007/BF01350715 | mr=0374149}}

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