単調写像のソースを表示

{{Dablink|「'''増加'''」、「'''減少'''」はこの項目に[[Wikipedia:リダイレクト|転送]]されています。「'''増加'''」、「'''減少'''」の語義については、[[ウィクショナリー]]の「[[:wikt:増加|増加]]」、「[[:wikt:減少|減少]]」の項目をご覧ください。}}
{{出典の明記|date=2012年9月26日 (水) 05:40 (UTC)}}
{{Expand English|Monotonic function|date=2024年5月}}
'''単調写像'''（たんちょうしゃぞう、{{lang-en-short|monotonic map, monotone map}}）または'''単調関数'''（たんちょうかんすう、{{lang-en-short|monotonic function, monotone function}}）は、単調性、すなわち[[順序集合]]の間の写像が順序を保つような性質を持つ[[写像]]のことである。具体的な例としては以下の増加関数および減少関数がある。

'''増加'''（ぞうか、{{lang-en-short|increasing}} ）または'''単調増加'''(たんちょうぞうか、{{lang-en-short|monotonically increasing}})とは、狭義には[[実数]]の値を持つ[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} が、{{mvar|x}} が大きくなるつれて常に関数値 {{math|''f''(''x'')}} が大きくなることをいい、このような性質を持つ関数を'''増加関数'''（ぞうかかんすう、{{lang-en-short|increasing function}} ）または'''単調増加関数''' (たんちょうぞうかかんすう、{{lang-en-short|monotonically increasing function}})と呼ぶ。

同様に、引数 {{mvar|x}} が大きくなるにつれて関数値 {{math|''f''(''x'')}} が常に小さくなることを'''減少'''（げんしょう、{{lang-en-short|decreasing}} ）または'''単調減少''' (たんちょうげんしょう、{{lang-en-short|monotonically decreasing function}})といい、そのような性質を持つ関数を'''減少関数'''（げんしょうかんすう、{{lang-en-short|decreasing function}} ）または'''単調減少関数''' (たんちょうげんしょうかんすう、{{lang-en-short|monotonically decreasing function}})と呼ぶ。ある関数が増加または減少する性質をまとめて'''単調性'''（たんちょうせい、{{lang-en-short|monotonicity}}）と呼ぶ。単調性を満たす写像を単調写像と呼ぶ。

連続な増加関数 {{math|''f''(''x'')}} を縦軸、その引数 {{mvar|x}} を横軸にとった[[グラフ (関数)|グラフ]]上の[[曲線]]は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。

== 単調性 ==
=== 広義と狭義 ===
実数から実数への関数 <math>f</math> が
: <math>x \le y</math> (より簡明に <math>x < y</math>) ならば <math>f(x) \le f(y)</math>
をみたすとき、<math>f</math> は'''広義増加'''（こうぎぞうか）するという。広義増加のことを'''非減少 '''(ひげんしょう、{{Lang-en-short|non-decreasing}})と呼ぶこともある。

また、
: <math>x < y</math> ならば <math>f(x) < f(y)</math>
をみたすとき、<math>f</math> は'''狭義増加''' (きょうぎぞうか、{{Lang-en-short|strictly increasing}}) するという。

<math>f(x)</math> と <math>f(y)</math> の間の不等号の向きを逆にすることで'''広義減少'''および'''狭義減少'''の定義が得られる。広義減少のことを'''非増加 '''(ひぞうか、{{Lang-en-short|non-increasing}})と呼ぶこともある。

文脈によって明らかなときは広義や狭義を省略することも多い。

=== 順序集合 ===
上記の単調性の定義は[[定義域]]と[[値域]]が実数全体の集合でなくても(半)[[順序集合]]一般で意味を持つ。この場合、増加する写像は'''[[準同型|順序を保つ]]写像 '''({{lang-en-short|order-preserving, isotone}}) であると言い替える事ができ、減少する写像は'''順序を逆にする写像''' ({{lang-en-short|order-reversing, antitone}}) であると言い替える事ができる。

=== 有界 ===
単調性は[[有界]]性と併せて使われることが多い。つまり、つねに[[上限 (数学)|上限]]を持つ順序集合への単調写像 <math>f</math> が上に有界であるとき、列 <math>x_1 < x_2 < \cdots</math> に対して <math>\{f(x_i)\}_{i=1,2,\cdots}</math> は上限を持つ。このことから上に有界な増加[[#実数列での単調性|実数列]]は常に収束し、自然数上の再帰関数は必ず不動点を持つ([[領域理論]])。<!--加筆訂正求む-->

== 実関数での単調性 ==
部分集合 <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> で定義された関数 <math>f(x)</math> を考える。
{|class="wikitable"
|-
! rowspan="2" bgcolor="#ffffff" | <math>\forall x_1, \forall x_2 \in I</math> に対し～が成り立つとき !! colspan="3" | <math>f(x)</math> は区間 ''I'' で～である
|-
| align="center"  | 語法1 || align="center" | 語法2 || align="center" | 語法3
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\,</math>|| align="center" | 増加 || align="center" | 狭義増加 || align="center" | 増加 
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)\,</math> || align="center" | 広義増加 || align="center" | 増加 || align="center" | 非減少
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \,</math> || align="center" | 減少 || align="center" | 狭義減少 || align="center" | 減少
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\,</math> || align="center" | 広義減少 || align="center" | 減少 || align="center" | 非増加
|}
等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。

特に、定義域全体で増加/減少である関数を、増加関数/減少関数という。増加関数と減少関数をまとめて単調関数という。

関数<math>f(x)</math>が常に可[[微分]]な場合、単調性の概念は<math>f(x)</math>の[[導関数]]<math>f'(x)</math>によって特徴づける事ができる。
<math>f(x)</math>が広義増加になるのは<math>f'(x)</math>が常に非負な事と同値であり、<math>f(x)</math>が広義減少になるのは<math>f'(x)</math>が常に非正な事と同値である。
更に<math>f'(x)</math>の零点が<!--離散的にしか-->存在しない場合、狭義の単調性が言える。

== 実数列での単調性 ==
実数に値を取る[[数列]]は、自然数の集合([[順序集合#全順序|全順序集合]]である)から実数の集合への写像であると解釈できる。
その写像が単調なとき、その数列は'''単調数列'''と呼ばれる。

実数列 <math>\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n</math> を考える。（<math>n</math>は<math>\infty</math>でも構わない）
{|class="wikitable"
|-
! rowspan="2" bgcolor="#ffffff" | <math>\forall i, \forall j \in \left\{ 1,2, \cdots ,n \right\}</math> に対し～が成り立つとき !! colspan="3" | <math>\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n</math> は～である
|-
| align="center"  | 語法1 || align="center" | 語法2 || align="center" | 語法3
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>i < j \Rightarrow a_i < a_j\,</math>|| align="center" | 増加 || align="center" | 狭義増加 || align="center" | 増加 
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>i < j \Rightarrow a_i \le a_j\,</math> || align="center" | 広義増加 || align="center" | 増加 || align="center" | 非減少
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>i < j \Rightarrow a_i > a_j\,</math> || align="center" | 減少 || align="center" | 狭義減少 || align="center" | 減少
|-
| align="center" bgcolor="#ffffff" | <math>i < j \Rightarrow a_i \ge a_j\,</math> || align="center" | 広義減少 || align="center" | 減少 || align="center" | 非増加
|}
関数の場合と同様、等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。

特に、定義域全体で増加/減少である数列を、'''増加数列'''/'''減少数列'''または'''増加列'''/'''減少列'''という。増加数列と減少数列をまとめて単調数列という。
<!--
== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{notelist}}

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==

== 関連項目 ==-->

{{DEFAULTSORT:たんちようしやそう}}
[[Category:順序構造]]
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:写像]]
[[Category:数学に関する記事]]