単調族のソースを表示

[[集合族]]の一種である'''単調族'''（たんちょうぞく、{{lang-en-short|''monotone class''}}）は、[[測度論]]においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。

== 定義 ==
集合 {{mvar|X}} の部分集合族 <math> \mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X)</math> が単調であるとは、<math> \mathcal{M} </math> の{{仮リンク|単調集合列|de|Monotone Mengenfolge}}（単調増加または単調減少な列）の極限がまた <math> \mathcal{M} </math> に属するときに言う。記号で書けば、
: <math> (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ s.t. } A_1 \subset A_2 \subset \dotsb  \in \mathcal{M} \implies \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{M}, </math>
: <math> (B_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ s.t. } B_1 \supset B_2 \supset \dotsb  \in \mathcal{M} \implies \bigcap_{i=1}^\infty B_i \in \mathcal{M}. </math>

== 性質 ==
複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族 {{mvar|K}} の生成する単調族が
:<math> \mathcal{M}_K:= \bigcap_{  \mathcal{M} \text{: Monotone} \atop K \subset \mathcal{M}  } \mathcal{M} </math>
と定義できる。これは{{仮リンク|閉包作用素|en|Hull operator}}と解釈できる。

[[File:LaTeX1 Kopie.png|thumb|400px|測度論における集合族の関係図]]
== 他の集合族との関係 ==
* 単調族を成す[[集合環]]は[[σ-集合環]]である。
* 集合 {{mvar|X}} の部分集合からなる単調族が、全体集合 {{mvar|X}} を含み、かつその族に属する集合 {{math|''A'', ''B''}} が {{math|''B'' &sub; ''A''}} を満たすとき必ず {{math|''A'' ∖ ''B''}} もその族に属するならば、その単調族は[[ディンキン族]]である。
* 任意の σ-集合環は単調族である。
* [[集合代数]]の生成する単調族の全体は代数の生成する[[σ-集合代数]]の全体と対応を持つ。
* 集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。
{{clear}}

== 参考文献 ==
* Jürgen Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie''. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|単調族定理|en|Monotone class theorem}}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=MonotoneClass|title=monotone class}}

{{DEFAULTSORT:たんちようそく}}
[[Category:集合族]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]