単連結空間のソースを表示

[[画像:Runge theorem.svg|right|thumb|上図の穴あき平面は[[連結空間|連結]]であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。]]
[[位相幾何学]]における'''単連結空間'''（たんれんけつくうかん、{{lang-en-short|simply connected space}}）とは、任意の[[ホモトピー#基本群|ループ]]を[[連続]]的に1点に収縮できるような[[弧状連結空間]]のことである。

==定義==
ある弧状連結空間の[[基本群]]が、[[単位元]]のみを要素として持つ[[自明群|自明な]][[群 (数学)|群]]であるとき、その空間を'''単連結'''であるという。基本群の場合は基点に留まり続ける定値道を[[同値関係#.E5.90.8C.E5.80.A4.E9.A1.9E|代表元]]とするループの[[ホモトピー]]型が単位元になる。つまり、その空間上において（あたえられた基点に対する）任意のループが常にホモトピックな連続変形によって1点（基点）に収縮できれば単連結ということになる。弧状連結という仮定から、任意のループが1点に収縮できるかどうかは基点の取り方に依存しないで定まる。

==例==
[[画像:torus_cycles.png|thumb|120px|赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード]]
[[線分]]・[[円板]]・[[球体]]やn次元[[ユークリッド空間]]、2次元以上の[[超球面|球面]]などは単連結である。他方、[[トーラス]]や[[アニュラス]]、[[メビウスの帯]]、[[円周]]、[[結び目理論|結び目]]の[[補集合|補空間]]などは単連結ではない。

例えばトーラスの場合、1点に収縮できるようなループも存在するが、右図のようにメリディアンやロンジチュードといった閉曲線上を1周するループをとるとこれは1点に収縮できなくなる。実際、トーラスの[[基本群]]は
:<math>\pi_{1} (T) = \langle\, a , b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1 \,\rangle \cong \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1)</math>
であり、自明な群ではない。

==性質==
*単連結な[[開集合]] ''A , B'' が全空間 ''X'' を[[集合の被覆|被覆]]し、[[共通部分]] ''A'' ∩ ''B'' が[[空集合|空]]でなく弧状連結であるとき、''X''も単連結である。
*単連結空間の[[積位相|直積]]もやはり単連結である。
*[[可縮]]な空間は単連結である。

==関連項目==
*[[n連結]]
*[[半局所単連結]]
*[[ケルビン・ストークスの定理]]

==参考文献==
{{参照方法|date=2023年8月}}
*[[瀬山士郎]] 『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』 [[朝倉書店]]、1989年、91-94頁。ISBN 978-4254114652。
*[[小林一章]] 『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』 [[朝倉書店]]、1992年、22-23頁。ISBN 978-4254114713。
*[[クゼ・コスニオフスキ]]著、[[加藤十吉]]訳編 『トポロジー入門』 [[東京大学出版会]]、1983年、140-142頁。

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[[Category:位相的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Zusammenhängender Raum#Einfach zusammenhängend]]