単項イデアル環のソースを表示

[[数学]]において、'''単項右（左）イデアル環'''、'''主右（左）イデアル環''' (principal right (left) ideal ring) は環 ''R'' であってすべての右（左）イデアルがある ''x'' &isin; ''R'' に対して ''xR'' (''Rx'') の形であるようなものである。（1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは[[単項イデアル]]である。）これが左と右のイデアル両方に対して満たされるとき、例えば ''R'' が[[可換環]]のような場合、''R'' を'''単項イデアル環'''、'''主イデアル環''' (principal ideal ring) あるいはシンプルに '''単項環'''、'''主環''' (principal ring) と呼ぶことができる。

''R'' の[[有限生成加群|有限生成]]右イデアルだけが単項であるならば、''R'' は'''右ベズー環''' (right Bézout ring) と呼ばれる。左ベズー環は同様に定義される。これらの条件は整域 (domain) において[[ベズー整域]]として研究される。

[[整域]]でもあるような可換単項イデアル環は''[[単項イデアル整域]]'' (PID) と呼ばれる。この記事において焦点は整域とは限らない単項イデアル環のより一般的な概念に当てる。

== 一般的な性質 ==
''R'' が右単項イデアル環であれば、それは確かに右[[ネーター環]]である、なぜならばすべての右イデアルは有限生成だからだ。それは右ベズー環でもある、なぜならばすべての有限生成右イデアルは単項だからだ。それにまた、単項右イデアル環はちょうど右ベズーかつ右ネーターな環であることは明らかである。

単項右イデアル環は有限[[環の直積|直積]]で閉じている。<math>R=\prod_{i=1}^nR_i</math> であれば、''R'' の各右イデアルは <math>A=\prod_{i=1}^nA_i</math> の形である、ただし各 <math>A_i</math> は ''R''<sub>i</sub> の右イデアルである。すべての ''R''<sub>i</sub> が単項右イデアル環であれば、''A''<sub>i</sub>=''x''<sub>i</sub>''R''<sub>i</sub> であり、 <math>(x_1,\ldots,x_n)R=A</math> であることがわかる。それほどさらに努力しなくても右ベズー環もまた有限個の直積で閉じていることが証明できる。

単項右イデアル環と右ベズー環はまた商についても閉じている、つまり、''I'' が単項右イデアル環 ''R'' の真のイデアルであれば、商環 ''R/I'' もまた単項右イデアル環である。これは環の[[同型定理]]からただちに従う。

上記のすべての性質は左でも同様に成り立つ。

== 可換の例 ==

1. [[合同式|''n'' を法とした整数]] <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>.

2. <math>R_1,\ldots,R_n</math> を環とし <math>R = \prod_{i=1}^n R_i</math> とする。このとき ''R'' が主環であることと ''R''<sub>''i''</sub> がすべての ''i'' に対して主環であることは同値である。

3. 主環の任意の[[乗法的集合]]における局所化は再び主環である。同様に、主環の任意の商は再び主環である。

4. ''R'' を[[デデキント整域]]とし ''I'' を ''R'' の 0 でないイデアルとする。このとき商 ''R''/''I'' は主環である。実際、''I'' を素イデアルの冪の積として分解できる： <math> I = \prod_{i=1}^n P_i^{a_i}</math>, そして、[[中国の剰余定理]]によって
<math> R/I \cong \prod_{i=1}^n R/P_i^{a_i}</math>, なので各
<math>R/P_i^{a_i}</math> が主環であることを見れば十分である。しかし <math>R/P_i^{a_i}</math> は[[離散付値環]]
<math>R_{P_i}</math> の商 <math>R_{P_i}/P_i^{a_i} R_{P_i}</math> に同型であり、主環の商であるので、主環である。

5. ''k'' を有限体とし <math> A = k[x,y]</math>, <math>\mathfrak{m} = \langle x, y \rangle </math>, <math> R = A/\mathfrak{m}^2 </math> とおく。このとき ''R'' は主環''でない''有限局所環である。

6. ''X'' を有限集合とする。このとき <math> (\mathcal{P}(X),\Delta,\cap) </math> は単位元をもつ可換主イデアル環をなす。ただし <math>\Delta</math> は[[対称差]]を表し <math>\mathcal{P}(X)</math> は ''X'' の[[冪集合]]を表す。''X'' が少なくとも 2 つの元をもてば、環はまた零因子をもつ。''I'' がイデアルであれば、<math> I=(\bigcup I)</math> である。''X'' を無限集合とすれば、環は主環''でない''。例えば、''X'' の有限部分集合で生成されるイデアルを考えよ。

== 可換 PIR の構造理論 ==

上の例 4 で構成された主環はつねに[[アルティン環]]である。とくに、それらは主アルティン局所環の有限直積に同型である。
局所アルティン主環は '''special principal ring''' と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造をもつ：有限個のイデアルしか存在せず、各々は極大イデアルの冪なのである。この理由のために、special principal rings は [[:en:serial module|uniserial rings]] の例である。

次の結果は主環の完全な分類を special principal rings と主イデアル整域の言葉によって与える。

'''Zariski–Samuel の定理'''： ''R'' を主環とする。すると ''R'' は直積 <math>\prod_{i=1}^n R_i</math> として書ける、ただし各 ''R''<sub>i</sub> は主イデアル整域であるかまたは special principal ring である。

証明は中国剰余定理を零イデアルの極小準素分解に適用する。

Hungerford による以下の結果も存在する：

定理 (Hungerford)： ''R'' を主環とする。すると ''R'' は直積 <math>\prod_{i=1}^n R_i</math> として書ける、ただし各 ''R''<sub>i</sub> は主イデアル整域の商である。

Hungerford の定理の証明は完備局所環 (complete local ring) に対する {{仮リンク|コーエンの構造定理|en|Cohen structure theorem}}を用いる。

上記例 3 のように議論し Zariski-Samuel の定理を使うことで次のことを確認するのは易しい。Hungerford の定理は任意の special principal ring が離散付値環の商であるというステートメントと同値である。

== 非可換の例 ==

ただの体の直積ではないすべての[[半単純環]] ''R'' は非可換右かつ左主イデアル域である。すべての右と左イデアルは ''R'' の直和成分であるので ''e'' を ''R'' の[[冪等元]]として ''eR'' あるいは ''Re'' の形である。この例と並行して、[[フォン・ノイマン正則環]]は右かつ左ベズー環であることが確かめられる。

''D'' が[[可除環]]で <math>\sigma</math> が[[自己同型]]でない環自己準同型であれば、[[:en:Polynomial ring#Differential and skew-polynomial rings|skew polynomial ring]] <math>D[x,\sigma]</math> は右ネーターでない主左イデアル域であることが知られており、したがって主右イデアル環ではありえない。このことは域に対してさえも主左と主右イデアル環は異なるということを示している {{harv|Lam|2001, p.21}}。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* [[Thomas W. Hungerford|T. Hungerford]], ''On the structure of principal ideal rings'', Pacific J. Math. 25 1968 543—547.

*{{citation   |author=Lam, T. Y.   |title=A first course in noncommutative rings  |series=Graduate Texts in Mathematics   |volume=131   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag   |place=New York   |date=2001   |pages=xx+385   |isbn=0-387-95183-0   |mr=1838439 }}

* Pages 86 & 146-155 of {{Lang Algebra|edition=3}}

* {{Citation | last1=Zariski | first1=O. | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=P. | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | year=1975 | volume=28, 29}}

{{DEFAULTSORT:たんこういてあるかん}}
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[[Category:環論]]
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