原子間ポテンシャルのソースを表示

[[ファイル:Morsepot_Cu.png|サムネイル|300x300ピクセル|原子間距離 {{Mvar|r<sub>ij</sub>}} に対して典型的な原子間ペアポテンシャルをプロットすると図のようになる。極小値の左側は斥力的 (repulsive)、右側は引力的 (attractive) な相互作用を表す。]]
'''原子間ポテンシャル'''（げんしかんポテンシャル、{{Lang-en-short|Interatomic potential}}）は、与えられた[[原子]]の空間位置から原子系の[[ポテンシャルエネルギー]]を計算するための[[関数 (数学)|関数]]である<ref name=AllenTildesley>M. P. Allen and D. J. Tildesley. Computer Simulation of Liquids.  Oxford University Press, Oxford, England, 1989.</ref><ref>Daan Frenkel and Berend Smit. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications. Academic Press, San Diego, second edition, 2002.</ref><ref name=Lesar>R. Lesar. Introduction to Computational Materials Science. Cambridge University Press, 2013.</ref><ref name="Brenner2000">{{cite journal|last1=Brenner|first1=D.W.|title=The Art and Science of an Analytic Potential|journal=Physica Status Solidi B|volume=217|issue=1|year=2000|pages=23–40|issn=0370-1972|doi=10.1002/(SICI)1521-3951(200001)217:1<23::AID-PSSB23>3.0.CO;2-N}}</ref>。原子間ポテンシャルは化学や[[分子物理学]]、材料物理学の分野で、凝集{{Enlink|Cohesion|英語版|en}}、[[熱膨張]]、材料の[[弾性|弾性特性]]などの効果に関する[[分子力学法]]や[[分子動力学法]] (MD) によるシミュレーションの物理的基盤として広く用いられる<ref name=AshcroftMermin>N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid State Physics.Saunders College, Philadelphia, 1976.</ref><ref name=Kittel>Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. John Wiley & Sons, New York, third edition, 1968.</ref><ref name=Daw93>{{cite journal|last1=Daw|first1=Murray S.|last2=Foiles|first2=Stephen M.|last3=Baskes|first3=Michael I.|title=The embedded-atom method: a review of theory and applications|journal=Materials Science Reports|volume=9|issue=7-8|year=1993|pages=251–310|issn=09202307|doi=10.1016/0920-2307(93)90001-U}}</ref><ref name="Tersoff pp. 6991–7000">{{cite journal | last=Tersoff | first=J. | title=New empirical approach for the structure and energy of covalent systems | journal=Physical Review B | publisher=American Physical Society (APS) | volume=37 | issue=12 | date=15 April 1988 | issn=0163-1829 | doi=10.1103/physrevb.37.6991 | pages=6991–7000}}</ref><ref name="FINNIS 2007 pp. 133–153">{{cite journal | last=FINNIS | first=M | title=Bond-order potentials through the ages | journal=Progress in Materials Science | publisher=Elsevier BV | volume=52 | issue=2-3 | year=2007 | issn=0079-6425 | doi=10.1016/j.pmatsci.2006.10.003 | pages=133–153}}</ref><ref name="Sin12"/>。

== 関数形 ==
原子間ポテンシャルは1つの原子位置の関数、もしくは2つ、3つ…の原子位置の組の関数を項とする級数展開で表すことができる。このとき系のポテンシャルの総和 {{Math|''V''<sub>TOT</sub>}} は以下のように書ける<ref name=Lesar />。

: <math>
	V_{\mathrm {TOT}} = \sum_{i}^N V_1(\vec r_i) + \sum_{i,j}^N V_2(\vec r_i,\vec r_j) + \sum_{i,j,k}^N V_3(\vec r_i,\vec r_j,\vec r_k) + \cdots
</math>

ここで {{Math|''V''<sub>1</sub>}} は一体項、{{Math|''V''<sub>2</sub>}} は二体項、{{Math|''V''<sub>3</sub>}} は三体項を表し、{{Mvar|N}} は系に含まれる原子の数、<math>\vec r_i</math>は {{Mvar|i}} 番目の原子の位置である。指標 {{Mvar|i}}, {{Mvar|j}}, {{Mvar|k}} …の総和はすべての原子（の組）について行う。

対ポテンシャルが原子対ごとに与えられているなら、それに1/2をかけたものが級数展開の二体項となることに注意が必要である。さもなければ一つの対のポテンシャルが2回数えられてしまう。同じように三体項には1/6の係数がかかる<ref name=Lesar />。あるいは、ポテンシャルの関数形が指標 {{Mvar|i}}, {{Mvar|j}}, {{Mvar|k}} …の交換に対して対称である場合には、二体項の総和を {{Math|''i'' < ''j''}} の場合のみに、三体項の総和を {{Math|''i'' < ''j'' < ''k''}} の場合のみに限定する方法もある（原子の種類が複数ある場合にはこのような対称性が存在しないこともある）。

一体項は原子が外場（[[電場]]など）の中にある場合にのみ意味を持つ。外場がなければ、ポテンシャル {{Mvar|V}} は個々の原子の絶対位置ではなく原子間の相対位置にのみ依存するはずである。それはつまり、ポテンシャルの表式を原子間距離 <math>\textstyle r_{ij} = |\vec r_i-\vec r_j|</math>および[[結合角]]（ある原子から隣接する複数の原子に向けて引いたベクトルの間の角度）{{Mvar|&theta;<sub>ijk</sub>}} の関数として書き換えられるということである。よって外力がない場合の一般形は以下のようになる。

:: <math>
	V_{\mathrm {TOT}} =  \sum_{i,j}^N V_2(r_{ij}) + \sum_{i,j,k}^N V_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk}) + \cdots
</math>

3次元空間において{{Mvar|i}}, {{Mvar|j}}, {{Mvar|k}}の3原子の相対位置を確定するには {{Math|''r<sub>ij</sub>'', ''r<sub>jk</sub>'', ''&theta;<sub>ijk</sub>''}} の3項のみで十分であるため、上式の三体項 {{Math|''V''<sub>3</sub>}} に原子間距離 <math>\textstyle r_{jk}</math>は含まれない。3次以上の全ての項は'''多体ポテンシャル'''とも呼ばれる。ある種の原子間ポテンシャルでは対アポテンシャルの中に多体相互作用が埋め込まれている（埋め込み原子型ポテンシャルおよび[[結合次数ポテンシャル]]については後に論じる）。

原理的には、これらの数式に含まれる総和は {{Mvar|N}} 個の原子すべてについて取る。しかし、原子間相互作用が及ぶ範囲が有限であるならば（すなわち、あるカットオフ距離 {{Math|''r''<sub>cut</sub>}} より大きい {{Mvar|r}} に対してポテンシャルが {{Math|''V''(''r'') &equiv; 0}} なら）、総和はカットオフ距離より近い原子の組だけに限られる。またセル法によって隣接原子を選び出すことで<ref name=AllenTildesley/>、MDシミュレーションの計算アルゴリズムのオーダーを [[ランダウの記号|''O''(''N'')]] にできる。ポテンシャルが無限の範囲ではたらく場合でも、[[エバルトの方法]]やその発展型によって総和を効率化することは可能である。

== 力の計算 ==
原子間に働く力は全エネルギーを原子位置で[[微分]]することで求められる。すなわち、{{Mvar|i}} 番目の原子が受ける力を知るには、原子 {{Mvar|i}} の位置に関するポテンシャルエネルギーの[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]（それぞれの空間次元に関する導関数からなるベクトル）を次式のように求めればよい。

:: <math>
	\vec{F}_i = -\nabla_{\vec {r}_i} V_{TOT}
</math>

二体ポテンシャルにおいては、原子 {{Mvar|i}}, {{Mvar|j}} の交換に対してポテンシャル関数が対称であるため、上式の勾配は原子間距離 {{Mvar|r<sub>ij</sub>}} に関する単純な微分に帰着する。しかし、多体ポテンシャル（三体、四体…ポテンシャル）においては原子の交換に対する対称性が成立するとは限らないため微分ははるかに複雑である<ref name="Beardmore Grønbech-Jensen pp. 12610–12616">{{Cite journal|last=Beardmore|first=Keith M.|last2=Grønbech-Jensen|first2=Niels|date=1 October 1999|title=Direct simulation of ion-beam-induced stressing and amorphization of silicon|journal=Physical Review B|volume=60|issue=18|pages=12610–12616|publisher=American Physical Society (APS)|arxiv=cond-mat/9901319v2|doi=10.1103/physrevb.60.12610|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Albe Nord Nordlund 2009 pp. 3477–3497">{{Cite journal|last=Albe|first=Karsten|last2=Nord|first2=J.|last3=Nordlund|first3=K.|year=2009|title=Dynamic charge-transfer bond-order potential for gallium nitride|journal=Philosophical Magazine|volume=89|issue=34-36|pages=3477–3497|publisher=Informa UK Limited|doi=10.1080/14786430903313708|issn=1478-6435}}</ref>。別の言葉で言うと、原子 {{Mvar|i}} とは隣接していない原子 {{Mvar|k}} のエネルギーもまた、角度などの多体項を通じて位置 <math>\textstyle \vec{r}_{i}</math>に依存するかもしれず、したがって勾配 <math>\textstyle \nabla_{\vec{r}_{i}}</math>に寄与する場合がある。

== 原子間ポテンシャルの分類 ==
原子間ポテンシャルにはさまざまな種類があり、それぞれ物理的な意図<!-- motivation -->が異なる。[[ケイ素]]のようなよく知られた元素一つを取っても、関数形や理論的背景<!-- motivation -->が大きく異なる多様なポテンシャルが作られている<ref name="Bal92">{{Cite journal|last=Balamane|first=H.|last2=Halicioglu|first2=T.|last3=Tiller|first3=W. A.|date=15 July 1992|title=Comparative study of silicon empirical interatomic potentials|journal=Physical Review B|volume=46|issue=4|pages=2250–2279|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.46.2250|issn=0163-1829}}</ref>。真の原子間ポテンシャルは本質的に[[量子力学]]の問題だが、[[シュレディンガー方程式]]もしくは[[ディラック方程式]]で記述される真の相互作用を、多数の電子と原子核すべてについて一つの解析的な関数形に落とし込む方法は知られていない。必然的に、あらゆる解析的な原子間ポテンシャルは[[近似]]である。

=== ペアポテンシャル ===
広く用いられている原子間相互作用のモデルの中でおそらくもっとも単純なのは、次の[[レナード-ジョーンズ・ポテンシャル]]であろう<ref>{{Citation|last=Lennard-Jones|first1=J. E.|year=1924|title=On the Determination of Molecular Fields|journal=Proc. R. Soc. Lond. A|volume=106|number=738|pages=463–477|doi=10.1098/rspa.1924.0082|bibcode=1924RSPSA.106..463J}}.</ref>。

:: <math>
V_{\mathrm {LJ}} = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right] 
</math>

上式の {{Mvar|&epsilon;}} は{{仮リンク|ポテンシャル井戸|en|Potential well|label=}}の深さを、{{Mvar|&sigma;}} はポテンシャルの値がゼロとなる距離を意味する。{{Math|1 / ''r''<sup>6</sup>}} に比例する項は、それぞれの原子に誘起された電気双極子どうしの古典的もしくは量子的な相互作用を表している<ref name=Kittel/>。このポテンシャルは[[貴ガス]]に対して非常に正確な結果を与える。また化学的な[[力場 (化学)|力場]]の中の分子間相互作用を記述する場合など、双極子相互作用が重要な系で広く使われている。

[[モースポテンシャル]]もまたよく知られた単純な対ポテンシャルで、2つの指数関数を単に足し合わせた形をしている。

:: <math>V(r) = D_e ( e^{-2a(r-r_e)}-2e^{-a(r-r_e)} )</math>

ここで {{Math|''D''<sub>e</sub>}} は平衡結合エネルギー、{{Math|''r''<sub>e</sub>}} は結合距離である。モースポテンシャルは分子振動や固体の研究に応用されてきた<ref name="Girifalco Weizer pp. 687–690">{{Cite journal|last=Girifalco|first=L. A.|last2=Weizer|first2=V. G.|date=1 April 1959|title=Application of the Morse Potential Function to Cubic Metals|journal=Physical Review|volume=114|issue=3|pages=687–690|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrev.114.687|issn=0031-899X}}</ref>。近年ではほとんど使われなくなったが、結合次数ポテンシャルのような新しいポテンシャル関数に派生している。

イオン性物質を記述するには、[[バッキンガム・ポテンシャル]]のような短距離斥力項と、イオン性物質を構成するのに必要なイオン間相互作用を与える[[クーロンポテンシャル]]との和が用いられることが多い。イオン性物質の短距離項は多体効果を受けることもある<ref name="Feuston Garofalini 1988 pp. 5818–5824">{{Cite journal|last=Feuston|first=B. P.|last2=Garofalini|first2=S. H.|year=1988|title=Empirical three‐body potential for vitreous silica|journal=The Journal of Chemical Physics|volume=89|issue=9|pages=5818–5824|publisher=AIP Publishing|doi=10.1063/1.455531|issn=0021-9606}}</ref>。

対ポテンシャルには[[立方晶系|立方晶]]金属の[[弾性定数]]3つすべてを与えることができないなど特有の限界がある<ref name="Daw93"/>。したがって現代の[[分子動力学法|MD]]シミュレーションは様々な多体ポテンシャルを用いて行われることがほとんどである。

=== 多体ポテンシャル ===
Stilinger-Weberのポテンシャル<ref name="Stillinger Weber pp. 5262–5271">{{Cite journal|last=Stillinger|first=Frank H.|last2=Weber|first2=Thomas A.|date=15 April 1985|title=Computer simulation of local order in condensed phases of silicon|journal=Physical Review B|volume=31|issue=8|pages=5262–5271|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.31.5262|issn=0163-1829}}</ref>は二体項と三体項からなり、以下の標準形を持つ。 

:: <math>
	V_{\mathrm {TOT}} =  \sum_{i,j}^N V_2(r_{ij}) + \sum_{i,j,k}^N V_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})
</math>

ここで三体項は結合の曲げに対してポテンシャルエネルギーがどう変化するかを表している。このポテンシャルは本来純粋なケイ素のために作られたものだが、多くの元素や化合物のために拡張されてきたほか<ref name="Ichimura pp. 431–437">{{cite journal | last=Ichimura | first=M. | title=Stillinger-Weber potentials for III–V compound semiconductors and their application to the critical thickness calculation for InAs/GaAs | journal=Physica Status Solidi A | publisher=Wiley | volume=153 | issue=2 | date=16 February 1996 | issn=0031-8965 | doi=10.1002/pssa.2211530217 | pages=431–437}}</ref><ref>H. Ohta and S. Hamaguchi. Classical interatomic potentials for si-o-f and si-o-cl systems. J. Chemical Physics, 115(14):6679--90, 2001.</ref>、ケイ素についてのほかのポテンシャルの基礎にもなった<ref>{{Cite journal|last=Bazant|first=M. Z.|last2=Kaxiras|first2=E.|last3=Justo|first3=J. F.|date=1997|title=Environment-dependent interatomic potential for bulk silicon|journal=Phys. Rev. B|volume=56|issue=14|page=8542|arxiv=cond-mat/9704137|bibcode=1997PhRvB..56.8542B|doi=10.1103/PhysRevB.56.8542}}</ref><ref name="Jus98">{{Cite journal|last=Justo|first=João F.|last2=Bazant|first2=Martin Z.|last3=Kaxiras|first3=Efthimios|last4=Bulatov|first4=V. V.|last5=Yip|first5=Sidney|date=1 July 1998|title=Interatomic potential for silicon defects and disordered phases|journal=Physical Review B|volume=58|issue=5|pages=2539–2550|publisher=American Physical Society (APS)|arxiv=cond-mat/9712058|doi=10.1103/physrevb.58.2539|issn=0163-1829}}</ref>。

金属は「埋め込み原子型 (EAM-like)」と呼べるポテンシャルによってかなり一般的に表すことができる。それらのポテンシャルは[[原子挿入法|埋め込み原子モデル]]と同じ関数形を持つもので、ポテンシャルエネルギーの総和は以下のように表せる。

:: <math>V_{\mathrm {TOT}} = \sum_i^N F_i \left(\sum_{j} \rho (r_{ij}) \right) + \frac{1}{2} \sum_{i, j}^N V_2(r_{ij})</math>

上式の {{Mvar|F<sub>i</sub>}} は埋め込み関数（力 <math>\textstyle \vec F_i</math>とは異なる）と呼ばれ、[[電荷密度|電子密度]] {{Math|''&rho;''(''r<sub>ij</sub>'')}} の総和の関数である。通常はペアポテンシャル {{Math|''V''<sub>2</sub>}} には純斥力を用いる。最初に定式化されたときには<ref name="Foiles Baskes Daw pp. 7983–7991">{{Cite journal|last=Foiles|first=S. M.|last2=Baskes|first2=M. I.|last3=Daw|first3=M. S.|date=15 June 1986|title=Embedded-atom-method functions for the fcc metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys|journal=Physical Review B|volume=33|issue=12|pages=7983–7991|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.33.7983|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Foiles Baskes Daw pp. 10378–10378">{{Cite journal|last=Foiles|first=S. M.|last2=Baskes|first2=M. I.|last3=Daw|first3=M. S.|date=15 June 1988|title=Erratum: Embedded-atom-method functions for the fcc metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys|journal=Physical Review B|volume=37|issue=17|pages=10378–10378|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.37.10378|issn=0163-1829}}</ref>、電子密度 {{Math|''&rho;''(''r<sub>ij</sub>'')}} は単純に原子が持つ電子の密度のことで、埋め込み関数 {{Mvar|F<sub>i</sub>}} は[[密度汎関数理論]]に基づいて電子密度の中に原子を一個「埋め込む」のに必要とされるエネルギーを表していた<ref name="Puska Nieminen Manninen pp. 3037–3047">{{Cite journal|last=Puska|first=M. J.|last2=Nieminen|first2=R. M.|last3=Manninen|first3=M.|date=15 September 1981|title=Atoms embedded in an electron gas: Immersion energies|journal=Physical Review B|volume=24|issue=6|pages=3037–3047|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.24.3037|issn=0163-1829}}</ref>。しかし、金属を記述するほかの多くのポテンシャルは関数形が同じであっても {{Math|''&rho;''(''r<sub>ij</sub>'')}} や {{Mvar|F<sub>i</sub>}} を異なる意味で用いている。背景理論の例としては[[強結合近似]]<ref name="Finnis Sinclair 1984 pp. 45–55">{{Cite journal|last=Finnis|first=M. W.|last2=Sinclair|first2=J. E.|year=1984|title=A simple empirical N-body potential for transition metals|journal=Philosophical Magazine A|volume=50|issue=1|pages=45–55|publisher=Informa UK Limited|doi=10.1080/01418618408244210|issn=0141-8610}}</ref><ref name="Informa UK Limited 1986 pp. 161–161">{{Cite journal|year=1986|title=Erratum|journal=Philosophical Magazine A|volume=53|issue=1|pages=161–161|publisher=Informa UK Limited|doi=10.1080/01418618608242815|issn=0141-8610}}</ref><ref name="Cleri Rosato pp. 22–33">{{Cite journal|last=Cleri|first=Fabrizio|last2=Rosato|first2=Vittorio|date=1 June 1993|title=Tight-binding potentials for transition metals and alloys|journal=Physical Review B|volume=48|issue=1|pages=22–33|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.48.22|issn=0163-1829}}</ref>など<ref name="Kelchner Halstead Perkins Wallace 1994 pp. 425–435">{{Cite journal|last=Kelchner|first=Cynthia L.|last2=Halstead|first2=David M.|last3=Perkins|first3=Leslie S.|last4=Wallace|first4=Nora M.|last5=DePristo|first5=Andrew E.|year=1994|title=Construction and evaluation of embedding functions|journal=Surface Science|volume=310|issue=1-3|pages=425–435|publisher=Elsevier BV|doi=10.1016/0039-6028(94)91405-2|issn=0039-6028}}</ref><ref name="Dudarev Derlet pp. 7097–7118">{{Cite journal|last=Dudarev|first=S L|last2=Derlet|first2=P M|date=17 October 2005|title=A ‘magnetic’ interatomic potential for molecular dynamics simulations|journal=Journal of Physics: Condensed Matter|volume=17|issue=44|pages=7097–7118|publisher=IOP Publishing|doi=10.1088/0953-8984/17/44/003|issn=0953-8984}}</ref><ref name="Olsson Wallenius Domain Nordlund p.">{{Cite journal|last=Olsson|first=Pär|last2=Wallenius|first2=Janne|last3=Domain|first3=Christophe|last4=Nordlund|first4=Kai|last5=Malerba|first5=Lorenzo|date=21 December 2005|title=Two-band modeling of α-prime phase formation in Fe-Cr|journal=Physical Review B|volume=72|issue=21|page=214119|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.72.214119|issn=1098-0121}}</ref>がある。

埋め込み原子型ポテンシャルは数表として実装されるのが一般的である。[[アメリカ国立標準技術研究所]] (NIST) は原子間ポテンシャル・[[リポジトリ]]に数表を集めて公開している[http://www.ctcms.nist.gov/potentials/]。

共有結合性の物質は結合次数ポテンシャルによって記述されることが多い。このポテンシャルはTersoff型ないしBrenner型と呼ばれることもある<ref name="Sin12">{{Cite journal|last=Sinnott|first=Susan B.|last2=Brenner|first2=Donald W.|year=2012|title=Three decades of many-body potentials in materials research|journal=MRS Bulletin|volume=37|issue=5|pages=469–473|publisher=Cambridge University Press (CUP)|doi=10.1557/mrs.2012.88|issn=0883-7694}}</ref><ref name="Tersoff88">{{Cite journal|last=Tersoff|first=J.|year=1988|title=New empirical approach for the structure and energy of covalent systems|journal=Physical Review B|volume=37|issue=12|pages=6991–7000|bibcode=1988PhRvB..37.6991T|doi=10.1103/PhysRevB.37.6991|issn=0163-1829}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Brenner|first=Donald W.|year=1990|title=Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films|journal=Physical Review B|volume=42|issue=15|pages=9458–9471|bibcode=1990PhRvB..42.9458B|doi=10.1103/PhysRevB.42.9458|issn=0163-1829}}</ref>。それらは一般にペアポテンシャルと似た形を取る。

:: <math>
V_{ij}(r_{ij}) = V_{\mathrm {rep}}(r_{ij}) + b_{ijk} V_{\mathrm {att}}(r_{ij}) 
</math>

ここで斥力部分 {{Math|''V''<sub>rep</sub>}} と引力部分 {{Math|''V''<sub>att</sub>}} はモースポテンシャルと似た単純な指数関数である。ただし相互作用の強さは {{Mvar|b<sub>ijk</sub>}} の項を通じて原子 {{Mvar|i}} の周囲の環境から影響を受けている。角度依存性を明示的に導入しない場合には、これらのポテンシャルはある種の埋め込み原子型ポテンシャルと数学的に同等であることが示される<ref name="Brenner1989">{{Cite journal|last=Brenner|first=Donald W.|year=1989|title=Relationship between the embedded-atom method and Tersoff potentials|journal=Physical Review Letters|volume=63|issue=9|pages=1022|bibcode=1989PhRvL..63.1022B|doi=10.1103/PhysRevLett.63.1022|issn=0031-9007|pmid=10041250}}</ref><ref name="Alb02">{{Cite journal|last=Albe|first=Karsten|last2=Nordlund|first2=Kai|last3=Averback|first3=Robert S.|year=2002|title=Modeling the metal-semiconductor interaction: Analytical bond-order potential for platinum-carbon|journal=Physical Review B|volume=65|issue=19|pages=195124|bibcode=2002PhRvB..65s5124A|doi=10.1103/PhysRevB.65.195124|issn=0163-1829}}</ref>。この利点により、結合次数ポテンシャルの数学的形式は金属性と共有結合性を併せ持つ物質に対しても用いられてきた<ref name=Alb02/><ref>{{cite journal|last1=de Brito Mota|first1=F.|last2=Justo|first2=J. F.|last3=Fazzio|first3=A.|title=Structural properties of amorphous silicon nitride|journal=Phys. Rev. B|date=1998|volume=58|issue=13|page=8323|doi=10.1103/PhysRevB.58.8323|bibcode=1998PhRvB..58.8323D}}</ref><ref name="Jus05"/><ref name="Erh06"/>。

=== 短距離相互作用における斥力ポテンシャル ===
{{仮リンク|粒子線物性学|en|Radiation material science|label=}}<!-- 訳語は京都大学複合原子力科学研究所の研究グループに拠った -->で重要になるように原子間隔が極めて小さい場合には、次式のような一般形を持つ遮蔽された[[クーロンポテンシャル]]によって原子間相互作用を非常に正確に表すことができる。

: <math> V(r_{ij}) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0} {Z_1Z_2 e^2 \over r_{ij}} \varphi(r/a)</math>

ここで {{Math|''r'' → 0}} に対して {{Math|''&phi;''(''r'') → 1}} となる。{{Math|''Z''<sub>1</sub>}} および {{Math|''Z''<sub>2</sub>}} は相互作用を行っている2つの原子核の[[電荷]]であり、{{Mvar|a}} は遮蔽パラメータと呼ばれる。一般に広く用いられる遮蔽関数は「ユニバーサルZBL型」（Ziegler, Biersak, Littmarkによる）である<ref>J. F. Ziegler, J. P. Biersack, and U. Littmark. The Stopping and Range of Ions in Matter. Pergamon, New York, 1985.</ref>。すべての電子を考慮した[[量子化学]]的計算によってもっと正確な遮蔽関数を得ることもできる<ref name="Nordlund Runeberg Sundholm 1997 pp. 45–54">{{Cite journal|last=Nordlund|first=K.|last2=Runeberg|first2=N.|last3=Sundholm|first3=D.|year=1997|title=Repulsive interatomic potentials calculated using Hartree-Fock and density-functional theory methods|journal=Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms|volume=132|issue=1|pages=45–54|publisher=Elsevier BV|doi=10.1016/s0168-583x(97)00447-3|issn=0168-583X}}</ref>。この種のポテンシャルは{{仮リンク|二体衝突近似|en|Binary collision approximation|label=}}のシミュレーションで[[阻止能|核的阻止能]]を求めるときに用いられる。

== ポテンシャルのフィッティング ==
原子間ポテンシャルはいずれも近似であるため、何らかの基準値に合わせて決定しなければならないパラメータを必ず持っている。レナード-ジョーンズ型やモース型のように単純なポテンシャルならば、例えば二量体分子の平衡結合距離や結合強さ、あるいは固体の凝集エネルギーなどから直接パラメータを決定することができる<ref name=Kittel/>。しかし多体ポテンシャルには多くの場合未知のパラメータが数十個から数百個も含まれる。これらの当て嵌めには、もっと大量の実験データや、[[密度汎関数理論]]のようなより原理的なモデルによるシミュレーションから得られる物性値が用いられる。固体の多体ポテンシャルを上手く構築すれば、あらゆる元素や安定な化合物の平衡結晶構造について、少なくとも[[格子定数]]<!-- cohesion constant ? の意味は不明 -->や[[弾性|線形弾性定数]]、基本的な[[格子欠陥|点欠陥]]の性質は正しく求めることができる<ref name="Jus98">{{Cite journal|last=Justo|first=João F.|last2=Bazant|first2=Martin Z.|last3=Kaxiras|first3=Efthimios|last4=Bulatov|first4=V. V.|last5=Yip|first5=Sidney|date=1 July 1998|title=Interatomic potential for silicon defects and disordered phases|journal=Physical Review B|volume=58|issue=5|pages=2539–2550|publisher=American Physical Society (APS)|arxiv=cond-mat/9712058|doi=10.1103/physrevb.58.2539|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Alb02">{{Cite journal|last=Albe|first=Karsten|last2=Nordlund|first2=Kai|last3=Averback|first3=Robert S.|year=2002|title=Modeling the metal-semiconductor interaction: Analytical bond-order potential for platinum-carbon|journal=Physical Review B|volume=65|issue=19|pages=195124|bibcode=2002PhRvB..65s5124A|doi=10.1103/PhysRevB.65.195124|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Jus05">{{Cite journal|last=Juslin|first=N.|last2=Erhart|first2=P.|last3=Träskelin|first3=P.|last4=Nord|first4=J.|last5=Henriksson|first5=K. O. E.|last6=Nordlund|first6=K.|last7=Salonen|first7=E.|last8=Albe|first8=K.|date=15 December 2005|title=Analytical interatomic potential for modeling nonequilibrium processes in the W–C–H system|journal=Journal of Applied Physics|volume=98|issue=12|page=123520|publisher=AIP Publishing|doi=10.1063/1.2149492|issn=0021-8979}}</ref><ref name="Erh06">{{Cite journal|last=Erhart|first=Paul|last2=Juslin|first2=Niklas|last3=Goy|first3=Oliver|last4=Nordlund|first4=Kai|last5=Müller|first5=Ralf|last6=Albe|first6=Karsten|date=30 June 2006|title=Analytic bond-order potential for atomistic simulations of zinc oxide|journal=Journal of Physics: Condensed Matter|volume=18|issue=29|pages=6585–6605|publisher=IOP Publishing|doi=10.1088/0953-8984/18/29/003|issn=0953-8984}}</ref><ref name="Ercolessi Adams pp. 583–588">{{Cite journal|last=Ercolessi|first=F|last2=Adams|first2=J. B|date=10 June 1994|title=Interatomic Potentials from First-Principles Calculations: The Force-Matching Method|journal=Europhysics Letters (EPL)|volume=26|issue=8|pages=583–588|publisher=IOP Publishing|arxiv=cond-mat/9306054|doi=10.1209/0295-5075/26/8/005|issn=0295-5075}}</ref><ref name="Mishin Mehl Papaconstantopoulos p.">{{Cite journal|last=Mishin|first=Y.|last2=Mehl|first2=M. J.|last3=Papaconstantopoulos|first3=D. A.|date=12 June 2002|title=Embedded-atom potential forB2−NiAl|journal=Physical Review B|volume=65|issue=22|page=224114|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.65.224114|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Beardmore Smith 1996 pp. 1439–1466">{{Cite journal|last=Beardmore|first=Keith|last2=Smith|first2=Roger|year=1996|title=Empirical potentials for C-Si-H systems with application to C<sub>60</sub> interactions with Si crystal surfaces|journal=Philosophical Magazine A|volume=74|issue=6|pages=1439–1466|publisher=Informa UK Limited|doi=10.1080/01418619608240734|issn=0141-8610}}</ref>。ほとんどの場合、ポテンシャルの構築や当て嵌めにおいてはそのポテンシャルを「転用可能」にすること、すなわち当て嵌めに用いた物性とは明らかに異なる物性を正しく表せることが目標となる（明確にこのような研究が行われているポテンシャルの例は<ref name="Swamy Gale pp. 5406–5412">{{Cite journal|last=Swamy|first=Varghese|last2=Gale|first2=Julian D.|date=1 August 2000|title=Transferable variable-charge interatomic potential for atomistic simulation of titanium oxides|journal=Physical Review B|volume=62|issue=9|pages=5406–5412|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.62.5406|issn=0163-1829}}</ref><ref name="Aguado Bernasconi Madden 2002 pp. 437–444">{{Cite journal|last=Aguado|first=Andrés|last2=Bernasconi|first2=Leonardo|last3=Madden|first3=Paul A.|year=2002|title=A transferable interatomic potential for MgO from ab initio molecular dynamics|journal=Chemical Physics Letters|volume=356|issue=5-6|pages=437–444|publisher=Elsevier BV|doi=10.1016/s0009-2614(02)00326-3|issn=0009-2614}}</ref>を見よ）。一部にでも転用可能性が示された例が、ケイ素の原子間ポテンシャルに関する一編の総説に示されている。それによると、Stillinger-WeberポテンシャルおよびTersoff IIIポテンシャルはフィッティングに用いたのとは異なる物性のいくつか（すべてではない）を記述することが可能である<ref name="Bal92">{{Cite journal|last=Balamane|first=H.|last2=Halicioglu|first2=T.|last3=Tiller|first3=W. A.|date=15 July 1992|title=Comparative study of silicon empirical interatomic potentials|journal=Physical Review B|volume=46|issue=4|pages=2250–2279|publisher=American Physical Society (APS)|doi=10.1103/physrevb.46.2250|issn=0163-1829}}</ref>。

NISTのリポジトリには当て嵌られた原子間ポテンシャルが集められており、パラメータのフィット値、もしくはポテンシャル関数の数表という形で公開されている<ref>{{Cite web|url=http://www.ctcms.nist.gov/potentials/|title=Interatomic Potentials Repository Project|website=www.ctcms.nist.gov|accessdate=2019-09-03}}</ref>。

== 原子間ポテンシャルの信頼性 ==
古典的な原子間ポテンシャルはあらゆる現象をすべて再現することはできず、量子的な描像が必要となる場合がある。[[密度汎関数理論]]を用いればこの限界を乗り越えることができる。

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 関連項目 ==
{{columns-list|20em|
* [[分子動力学法]] 
* [[結合次数ポテンシャル]] 
* {{仮リンク|有効媒質近似|en|Effective medium approximations}} 
* [[原子挿入法|埋め込み原子モデル]] 
* [[レナード-ジョーンズ・ポテンシャル]] 
* [[バッキンガム・ポテンシャル]] 
* {{仮リンク|ReaxFF|en|ReaxFF|label=}} 
* [[力場 (化学)]]
* [[機械学習原子間ポテンシャル]]
}}

== 外部リンク ==
* [http://www.ctcms.nist.gov/potentials/ NIST interatomic potential repository]
* [https://www.ctcms.nist.gov/~knc6/periodic.html NIST JARVIS-FF]

{{DEFAULTSORT:けんしかんほてんしやる}}
[[Category:物質科学]]
[[Category:計算物理学]]
[[Category:物性物理学]]
[[Category:ポテンシャルエネルギー]]