双対位相のソースを表示

{{Unreferenced|date=October 2014}}

[[函数解析学]]および関連する[[数学]]の分野において、'''双対位相'''（そうついいそう、{{Lang-en-short|dual topology}}）とは、ある[[ベクトル空間の双対系|双対組]]上の[[局所凸位相ベクトル空間|局所凸位相]]である。ここで双対組とは、[[双線型形式]]を伴う二つの[[ベクトル空間]]であるため、一つのベクトル空間はもう一つの空間の連続双対となる。

与えられた双対組に対する異なる双対位相は、マッキー＝アレンスの定理によって特徴付けられる。連続双対を伴う全ての局所凸位相は、明らかに双対組であり、局所凸位相は双対位相である。

いくつかの位相的性質は、双対組にのみ依存し、選ばれた双対位相には依存しない。したがって、ある簡単な双対位相よりもより複雑な双対位相を代用することもしばしば可能となる。

== 定義 ==

与えられた双対組 <math>(X, Y, \langle , \rangle)</math> に対し、<math>X</math> 上の'''双対位相'''は局所凸位相 <math>\tau</math> である。したがって、
:<math>(X, \tau)' \simeq Y</math>
となる。ここで <math>(X, \tau)'</math> は <math>(X,\tau)</math> の連続双対を表し、<math>(X, \tau)' \simeq Y</math> は[[線型写像|線型同型]]
:<math>\Psi : Y \to (X, \tau)',\quad y \mapsto (x \mapsto \langle x, y\rangle) </math>
の存在を意味する（ある <math>y</math> に対する線型汎函数 <math>x \mapsto \langle x, y\rangle</math> は <math>X</math> 上で連続ではないので、<math>X</math> 上の局所凸位相 <math>\tau</math> が双対位相でないなら、<math>\Psi</math> は[[全射]]でないか、ill-defined である）。

== 性質 ==
* '''定理'''（{{仮リンク|ジョージ・マッキー|label=マッキー|en|George Mackey}}による）： 双対組が与えられたとき、任意の双対位相の下での[[有界集合]]は等しい。

* 任意の双対位相の下で同一の集合は、[[樽型空間|樽型]]である。

== 双対位相の特徴付け ==

{{仮リンク|ジョージ・マッキー|en|George Mackey}}と{{仮リンク|リチャード・アレンス|en|Richard Friedrich Arens}}の名にちなむ'''マッキー＝アレンスの定理'''は、局所凸空間上のすべての双対位相を特徴付けるものである。

この定理では、最も粗い双対位相は[[弱位相]]、すなわち <math>X'</math> のすべての有界部分集合上の一様収束位相であることと、最も細かい位相は[[マッキー位相]]、すなわち <math>X'</math> のすべての弱コンパクト部分集合上の一様収束位相であることが示されている。

=== マッキー＝アレンスの定理 ===

<math>X</math> を局所凸空間、<math>X'</math> をその連続双対とするある双対組 <math>(X, X')</math> が与えられているとき、<math>\tau</math> が <math>X</math> 上の双対位相であるための[[必要十分条件]]は、それが <math>X'</math> の[[絶対凸集合|絶対凸]]かつ[[弱位相|弱コンパクト]]な部分集合の族の上の{{仮リンク|一様収束位相|en|Topology of uniform convergence}}であることである。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:そうついいそう}}
[[Category:関数空間の位相]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:双対性]]
[[Category:数学に関する記事]]