双対錐と極錐のソースを表示

[[File:Dual cone illustration.svg|right|thumb|ある集合 ''C'' とその双対錐 ''C*'']]
[[File:Polar cone illustration1.svg|right|thumb|ある集合 ''C'' とその極錐 ''C<sup>o</sup>''。双対錐と極錐は原点対称である。]]

'''双対錐'''（そうついすい、{{Lang-en-short|dual cone}}）と'''極錐'''（きょくすい、{{Lang-en-short|polar cone}}）は、[[数学]]の[[凸解析]]の分野において密接に関連する概念である。

== 双対錐 ==
例えば[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> などの、[[連続的双対空間|位相的双対]] ''X*'' を備える[[線型空間]] ''X'' に対し、その[[部分集合]] ''C'' の'''双対錐''' ''C*'' は次の集合で定義される。

:<math>C^* = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \}</math>

ここで {{math|&lang;''y'', ''x''&rang;}} は ''X'' と ''X*'' の間の双対組、すなわち {{math|&lang;''y'', ''x''&rang; {{=}} ''y''(''x'')}} である。

''C'' が[[凸集合]]や線型錐でない場合でも、''C*'' は常に[[凸錐]]である。

代替的に、多くの研究者は実[[ヒルベルト空間]]（ユークリッド内積を備える '''R'''<sup>''n''</sup> など）の文脈において双対錐を定義している。それは次の集合で定義され、しばしば'''内的双対錐'''（internal dual cone）と呼ばれる。

:<math>C^*_\text{internal} := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>

この後者の ''C*'' の定義によると、''C'' が錐であるときに、次の性質が成り立つことが分かる<ref name="Boyd">{{cite book|title=Convex Optimization | first1=Stephen P. |last1=Boyd |first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3 | url=http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf |format=pdf|accessdate=June 10, 2015|pages=51–53}}</ref>：

* ゼロでないベクトル ''y'' が ''C*'' に含まれるための必要十分条件は、次の両条件が成立することである：
#''y'' は ''C'' の{{仮リンク|支持超平面|en|supporting hyperplane}}の原点での[[法線ベクトル]]である。
#''y'' と ''C'' はその支持超平面の同一側面にある。
*''C*'' は[[閉集合|閉]]かつ凸である。
*''C''<sub>1</sub> ⊆ ''C''<sub>2</sub> ならば <math>C_2^* \subseteq C_1^*</math> である。
*''C'' の内部が空でないなら、''C*'' は付点集合、すなわち ''C*'' はその内部に直線を含まない。
*''C'' が錐で、''C'' の閉包が付点集合であるなら、''C*'' の内部は空でない。
*''C**'' は ''C'' を含む最小の凸錐である（[[分離超平面定理|超平面分離定理]]の帰結）。

== 自己双対錐 ==
ベクトル空間 ''X'' 内の錐 ''C'' が'''自己双対'''（self-dual）であるとは、[[内積]] ⟨⋅,⋅⟩ に関する内的双対錐が ''C'' に等しいような内積を ''X'' が備えることが出来ることを言う<ref>Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.</ref>。実ヒルベルト空間における内的双対錐として双対錐を定義する研究者はしばしば、錐が自己双対であるとはそれがその内的双対と等しいことであると定義する。これは、内積の変化を許す上述の定義とは異なる。例えば、上述の定義では楕円型基を備える '''R'''<sup>''n''</sup> 内の錐は自己双対である。なぜならば、内積はその基を球状に変えることができ、'''R'''<sup>''n''</sup> 内の球状の基はその内的双対に等しいからである。

'''R'''<sup>''n''</sup> の非負の[[象限]]とすべての[[行列の定値性|半正定値行列]]の空間は、楕円型の基を備えるため、自己双対錐である（しばしば球錐やローレンツ錐、アイスクリーム錐などと呼ばれる）。したがってそのような基を備える '''R'''<sup>3</sup> 内のすべての錐は、奇数個の頂点を持つ正多角形の凸包である。

少し変わった例として、基が「家」の形をした '''R'''<sup>3</sup> 内の錐が挙げられる。すなわち、ある正方形と、その外側の点を正方形の一辺と結ぶことで構成される正三角形の凸包である。

== 極錐 ==
[[File:Polar cone illustration.svg|right|thumb|閉凸錐 ''C'' の極錐は、閉凸錐 ''C<sup>o</sup>'' であり、その逆も成り立つ。]]

''X'' 内のある集合 ''C'' に対し、''C'' の'''極錐'''は次の集合で定義される<ref name="Rockafellar">{{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis | publisher=Princeton University Press |location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|pages=121–122}}</ref>。

:<math>C^o = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \leq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>

極錐は双対錐に -1 を掛けたものであることが分かる。すなわち、''C<sup>o</sup>'' = −''C*'' である。

''X'' 内の閉凸錐 ''C'' に対し、極錐は ''C'' の極集合と等しい<ref>{{cite book|last=Aliprantis |first=C.D.|last2=Border |first2=K.C. |title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book |last=Goh |first=C. J. |author2=Yang, X.Q. |title=Duality in optimization and variational inequalities |publisher=London; New York: Taylor & Francis |year=2002 |isbn=0-415-27479-6 }}
*{{cite book |last=Boltyanski |first=V. G. |authorlink=:en:Vladimir Boltyansky |author2=Martini, H. |author3=Soltan, P. |title=Excursions into combinatorial geometry |publisher =New York: Springer |year=1997 |isbn=3-540-61341-2 }}
*{{cite book |last=Ramm |first=A.G. |editor=Shivakumar, P.N. |editor2=Strauss,  A.V. |title=Operator theory and its applications |publisher=Providence, R.I.: American Mathematical Society |year=2000 |isbn=0-8218-1990-9 }}

== 関連項目 ==
* [[双極定理]]
* [[極集合]]

{{DEFAULTSORT:そうついすいときよくすい}}
[[Category:最適化]]
[[Category:凸幾何学]]
[[Category:線型計画法]]
[[Category:凸解析]]
[[Category:双対性]]
[[Category:数学に関する記事]]