双対 (圏論)のソースを表示

{{For|数学における一般的な双対性の概念|{{仮リンク|双対 (数学)|en|Duality (mathematics)|preserve=1}}}}

[[圏論]]という[[数学]]の分野において，'''双対性'''（そうついせい，{{lang-en-short|duality}}）は圏 {{mvar|C}} の性質と[[反対圏]] {{math|''C''<sup>op</sup>}} の'''双対的な性質'''の間の対応である．圏 {{mvar|C}} についてのステートメントが与えられると，各[[射]]の[[始域]]と[[終域]]を入れ替え，2つの射の[[写像の合成|合成]]の順序を入れ替えることによって，反対圏 {{math|''C''<sup>op</sup>}} についての対応する双対命題が得られる．'''双対性'''は，そのようなものとして，ステートメントに関するこの操作の下で正しさが不変であるという主張である．言い換えると，あるステートメントが {{mvar|C}} について正しければ，その双対のステートメントは {{math|''C''<sup>op</sup>}} について正しい．また，あるステートメントが {{mvar|C}} について間違いならば，その双対のステートメントは {{math|''C''<sup>op</sup>}} について間違いである．

{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}} {{mvar|C}} が与えられたとき，その反対圏 {{math|''C''<sup>op</sup>}} はしばしばそれ自体が抽象的である．{{math|''C''<sup>op</sup>}} は数学的実践から生じる圏である必要はない．この場合，別の圏 {{mvar|D}} と {{math|''C''<sup>op</sup>}} が[[圏同値|圏として同値]]であるとき，{{mvar|D}} も {{mvar|C}} と双対にあると言われる．

{{mvar|C}} とその反対圏 {{math|''C''<sup>op</sup>}} が同値であるとき，そのような圏は'''自己双対''' (self-dual) である<ref name="AdamekRosicky1994">{{cite book|author1=Jiří Adámek|author2=J. Rosicky|title=Locally Presentable and Accessible Categories|url=https://books.google.com/books?id=iXh6rOd7of0C&pg=PA62|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-42261-1|page=62}}</ref>．

==定義==

We define the elementary language of category theory as the two-sorted [[first order language]] with objects and morphisms as distinct sorts, together with the relations of an object being the source or target of a morphism and a symbol for composing two morphisms.

Let σ be any statement in this language. We form the dual σ<sup>op</sup> as follows: 
# {{mvar|&sigma;}} において各「始域」と「終域」と入れ替える．
# 射を合成する順序を入れ替える．つまり，各 <math>g \circ f</math> を <math>f \circ g</math> に置き換える．
インフォーマルには，これらの条件はステートメントの双対は[[射|矢]]と[[写像の合成|合成]]を逆にすることによって作られるといっている．

''Duality'' is the observation that σ is true for some category ''C'' if and only if σ<sup>op</sup> is true for ''C''<sup>op</sup>.

==例==

* 射 <math>f\colon A \to B</math> が[[モニック射|モノ射]]であるとは <math>f \circ g = f \circ h</math> ならば <math>g=h</math> であることをいう．双対を取れば，<math>g \circ f = h \circ f</math> ならば <math>g=h</math> というステートメントを得る．射 <math>f\colon B \to A</math> に対しこれはちょうど {{mvar|f}} が[[エピ射]]であるということである．つまり，モノ射であるという性質はエピ射であるという性質の双対である．

双対性を適用して，これは，ある圏 {{mvar|C}} における射がモノ射であることと反対圏 {{math|''C''<sup>op</sup>}} においてそれを逆向きにした射がエピ射であることが同値であることを意味する．

* [[半順序]]の不等式の向きを逆にして例が作れる．つまり {{mvar|X}} が[[集合]]で {{math|≤}} が半順序関係のとき，新しい半順序関係 {{math|≤<sub>new</sub>}} を次で定義できる：

:: {{math|''x'' ≤<sub>new</sub> ''y'' ⇔ ''y'' ≤ ''x''.}}

順序についてのこの例は実際に例である，なぜならば半順序は {{math|Hom(''A'', ''B'')}} が高々1つの元を持つある種の圏と対応するからである．論理学に適用すれば，否定の非常に一般的な記述に見える（つまり，証明が逆向きに進む）．例えば，[[束 (束論)|束]]の逆を取れば，''結び''と''交わり''の役割が入れ替わることがわかる．これは[[ド・モルガンの法則]]あるいは束に適用した{{仮リンク|双対性 (束論)|en|Duality (order theory)|label=双対性}}の抽象的な形である．

* [[極限 (圏論)|極限]]と余極限は双対概念である．
* {{仮リンク|ファイブレーション|en|Fibration}}と{{仮リンク|コファイブレーション|en|cofibration}}は[[代数トポロジー]]と[[ホモトピー論]]における双対概念の例である．この文脈では，双対性はしばしば {{仮リンク|Eckmann–Hilton 双対性|en|Eckmann–Hilton duality}}と呼ばれる．

==関連項目==
* {{仮リンク|双対対象|en|Dual object}}
* [[双対]]
* [[逆圏]]
* [[随伴関手]]

==参考文献==
{{reflist}}

* {{SpringerEOM|title=Dual category|urlname=Dual_category}}
* {{SpringerEOM|title=Duality principle|urlname=Duality_principle}}
* {{SpringerEOM|title=Duality|urlname=Duality}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:そうつい けんろん}}
[[Category:圏論]]
[[Category:双対性]]
[[Category:数学に関する記事]]