双心四角形のソースを表示

{{Expand English|Bicentric quadrilateral|date=2024年5月}}
[[ファイル:Bicentric quadrilateral poncelet.svg|サムネイル|四角形<math>ABCD</math>及び四角形<math>EFGH</math>は双心四角形である。]]
'''双心四角形'''（そうしんしかっけい、{{Lang-en-short|Bicentric Quadrilateral, chord-tangent, quadrilateralinscribed and circumscribed quadrilateral}}<ref name=":0">{{Cite book |title=100 great problems of elementary mathematics: their history and solution |publisher=Dover Publ |date=2009 |location=New York |isbn=978-0-486-61348-2 |first=Heinrich |last=Dörrie |first2=Heinrich |last2=Dörrie}}</ref>）とは[[外接円]]と[[内接円]]の両方をもつ[[四角形]]のことである。[[双心多角形]]の一種。

[[ポンスレの閉形定理]]より、ある二円についての双心四角形が一つ見つかれば、そのような四角形は無数に存在する<ref>{{Cite web |title=Poncelet's Porism |url=https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html |website=[[Mathworld]] |access-date=2024-07-16 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

== 特別な場合 ==
[[ファイル:Bicentric kite 001.svg|サムネイル|[[直角凧形]]]]
双心四角形の一つに[[正方形]]、[[直角凧形]]、円に外接する[[等脚台形]]などがある。
== 作図 ==
[[ファイル:01-Bicentric quadrilateral.svg|サムネイル|双心四角形の作図。アニメーションは、[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Bicentric_quadrilateral.gif こちらを参照]]]
双心四角形の単純な作図には次のようなものがある。

内接円とする円を描いて、2つの垂直な弦を作り、この弦の端点から内接円の[[接線]]を引くと、これら接線は双心四角形を成す<ref>{{cite book
|last1=Alsina
|first1=Claudi
|last2=Nelsen
|first2=Roger
|date=2011
|title=Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images
|title-link= Icons of Mathematics
|publisher=Mathematical Association of America
|pages=125–126
|isbn=978-0-88385-352-8}}</ref>。これは[[円に外接する四角形]]の接触四角形が[[直交対角線四角形]]となるためである。
== 面積の公式 ==
4辺が ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' である双心四角形{{Mvar|ABCD}}の面積は次の公式で表される。
:<math>S=\sqrt{abcd}</math>
より一般に、[[円に外接する四角形|内接円を持つ四角形]] ABCD の面積は、<math>t=\frac{A+C}{2}</math> とおくと次で与えられる。
:<math>S=\sqrt{abcd}\sin t</math>
双心四角形に対する公式は、{{Math|1=''t'' = 90°}} という特殊な場合である。

=== 証明 ===
双心四角形ABCD において、外接円を持つことから[[ブラーマグプタの公式]]が使えて、次の式が成り立つ。
:<math>S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
:ただし <math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>（[[半周長]]）
内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
:''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d'' = ''s''
したがって
:''s'' &minus; ''a'' = ''c''
:''s'' &minus; ''c'' = ''a''
:''s'' &minus; ''b'' = ''d''
:''s'' &minus; ''d'' = ''b''
ゆえに
:<math>S=\sqrt{abcd}</math>
（証終）

外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、[[ブレートシュナイダーの公式]]を用いて同様に示せる。

=== その他の面積公式 ===
またA,B,C,Dに対する[[接線|接線長]]を{{Mvar|e,f,g,h}}、[[内心]]を{{Mvar|I}}、[[対角線]]の成す角を{{Mvar|θ}}などとすれば次のように書ける<ref name="Josefsson2">{{citation|title=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2010|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=10|pages=119–130}}.</ref><ref name="Josefsson3">{{citation|和書|title=The Area of a Bicentric Quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=11|pages=155–164}}.</ref><ref name="MJFG">{{citation|title=Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2012|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=12|pages=237–241}}.</ref>。

<math>K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).</math>

<math>K=\overline{AI} \cdot \overline{CI} + \overline{BI} \cdot \overline{DI}.</math>

<math>K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta</math>

ただし、{{Mvar|r,R}}はそれぞれ[[内半径]]と[[外半径]]。

=== 不等式 ===
面積の関係する不等式には以下の様なものがある<ref name="Crux">Inequalities proposed in ''[[Crux Mathematicorum]]'', 2007.[http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf]</ref>。

<math>\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.</math>　等号成立は正方形。

<math>K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}</math>　等号成立は正方形

<math>2\sqrt{K} \leq s \leq r+ \sqrt{r^2+4R^2}; </math>　等号成立条件は[[凧形]]。

== 角の公式 ==
角の[[三角関数]]について、以下の式が成り立つ<ref name="Josefsson3" /><ref name="Josefsson4">{{citation|title=A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals|last=Josefsson|first=Martin|year=2012|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=12|pages=79–82}}.</ref><ref name="Durell">Durell, C. V. and Robson, A., ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, pp. 28, 30.</ref>。記号は前項と同。

<math>\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{bc}{ad}} = \cot{\frac{C}{2}}, \\
\tan{\frac{B}{2}} &= \sqrt{\frac{cd}{ab}} = \cot{\frac{D}{2}}.
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
\sin{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{bc}{ad+bc}} = \cos{\frac{C}{2}}, \\
\cos{\frac{A}{2}} &= \sqrt{\frac{ad}{ad+bc}} = \sin{\frac{C}{2}}, \\
\sin{\frac{B}{2}} &= \sqrt{\frac{cd}{ab+cd}} = \cos{\frac{D}{2}}, \\
\cos{\frac{B}{2}} &= \sqrt{\frac{ab}{ab+cd}} = \sin{\frac{D}{2}}.
\end{align}</math>

<math>\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.</math>

== 外接円と内接円の関係 ==
[[ファイル:Fuss theorem2.svg|サムネイル|252x252ピクセル|ファスの定理（Fuss's theorem）]]

=== ファスの定理 ===
外接円の半径を ''R''、内接円の半径を ''r''、外接円の中心と内接円の中心の距離を ''d'' としたとき、
<math>\frac{1}{(R-d)^2}+\frac{1}{(R+d)^2}=\frac{1}{r^2},</math>

または
:<math>2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2)^2</math>
が成り立つ<ref name=":0" /><ref name="Yiu">Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf], 1998, pp. 158-164.</ref><ref>{{citation|title=Fuss's Theorem|last=Salazar|first=Juan Carlos|year=2006|journal=Mathematical Gazette|volume=90 (July)|pages=306–307}}.</ref>。定理名は{{仮リンク|ニコラス・ファス|en|Nicolas Fuss}}に由来する（Fussは'''フース'''とも<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |publisher=[[共立社書店]] |year=1932 |page=69 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref>）。

とくにdについて整理すれば

<math>d=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.</math>

を得る。これは[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]の四角形における形式である。また、この式を満たす{{Mvar|d,r,R}}が存在すれば四角形について[[ポンスレの閉形定理]]が成立する。

=== Carlitzの恒等式 ===
Leonard Carlitz{{Enlink|Leonard Carlitz}}によれば、次の式が成り立つ<ref>Calin, Ovidiu, ''Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach'', [http://math.emich.edu/~ocalin/Math341/Newpdf/driver13GeomB.pdf], pp. 153–158.</ref>。

<math>\displaystyle d^2=R^2-2Rr\cdot \mu</math>

ただし

<math>\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}</math>

=== 接線長と辺の長さに関する不等式 ===
{{Mvar|A,B,C,D}}の接線長を{{Mvar|e,f,g,h}}とすると以下の不等式が成立する<ref name="Radic">Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", ''Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics'', Volume 6, Issue 1, 2005, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/118_04_JIPAM/118_04.pdf]</ref>。

<math>4r\le e+f+g+h \le 4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

<math>4r^2\le e^2+f^2+g^2+h^2 \le 4(R^2+x^2-r^2)</math>

同様に辺{{Mvar|a,b,c,d}}でも以下の不等式が成立する<ref name="Radic" />。

<math>8r\le a+b+c+d \le 8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

<math>4(R^2-x^2+2r^2)\le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 4(3R^2-2r^2).</math>

== 内心の性質 ==
双心四角形の[[内心]]、[[外心]]、対角線の交点は[[共線]]である<ref>Bogomolny, Alex, ''Collinearity in Bicentric Quadrilaterals'' [https://www.cut-the-knot.org/ctk/BicentricQuadri.shtml], 2004.</ref>。

内接円の半径と、内心と各頂点の距離について<math>\frac{1}{\overline{AI}^2}+\frac{1}{\overline{CI}^2}=\frac{1}{\overline{BI}^2}+\frac{1}{\overline{DI}^2}=\frac{1}{r^2}</math>が成り立つ<ref>L. V. Nagarajan, ''Bi-centric Polygons'', 2014, [https://lvnaga.wordpress.com/2014/05/13/bi-centric-polygons/].</ref>。

また、対角線の交点を{{Mvar|P}}と置けば、

<math>\frac{\overline{AP}}{\overline{CP}}=\frac{\overline{AI}^2}{\overline{CI}^2}.</math>
である<ref>[[Crux Mathematicorum]] 34 (2008) no 4, p. 242.</ref>。

== 分割された4つの三角形の内心 ==
双心三角形''{{mvar|ABCD}}の外心{{mvar|O}}''で分割された4つの三角形{{math|△''OAB'', △''OBC'', △''OCD'', △''ODA''}}の内心は[[共円]]である<ref>Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [http://geometry.ru/olimp/2019/bicentr.pdf]</ref>。

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|Nuvola apps edu mathematics blue-p]]}}
*[[ブラーマグプタの公式]]
*[[ポンスレの閉形定理]]
*[[傍接四角形]]


== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Bicentric Quadrilateral|urlname=BicentricQuadrilateral}}
{{多角形}}
{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:そうしんしかつけい}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]