双心多角形のソースを表示

[[ファイル:Equilateral_triangle_bicentric_001.svg|右|サムネイル|[[正三角形]]|209x209ピクセル]]
[[ファイル:Bicentric_kite_001.svg|右|サムネイル|[[直角凧形]]|208x208ピクセル]]
[[ファイル:Bicentric_isosceles_trapezoid_001.svg|右|サムネイル| [[円に外接する台形#等脚接線台形|等脚接線台形]]|205x205ピクセル]]
[[ファイル:Pentagon_001.svg|右|サムネイル|[[正五角形]]|208x208ピクセル]]
[[幾何学]]における'''双心多角形'''（そうしんたかくけい、{{Lang-en-short|bicentric polygon}}）は[[内接円]]と[[外接円]]を持つ多角形である。すべての[[三角形]]は外接円と[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]を持つので、双心多角形である。しかし例えば[[正方形]]でない[[長方形]]は、外接円を持つが内接円を持たないため双心多角形でない。

== 三角形 ==
前述のとおり、任意の三角形は外接円と内接円を持つ<ref>{{Citation|title=The Facts on File Geometry Handbook|last=Gorini|first=Catherine A.|year=2009|url=https://books.google.com/books?id=ZnkASIOYJWsC&pg=PA17|publisher=Infobase Publishing|page=17|isbn=9780816073894}}.</ref>。内半径、外半径をそれぞれ{{Mvar|r,R}}、[[内心]]と[[外心]]の距離を{{Mvar|d}}として

: <math>\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}</math>

が成り立つ<ref name="imo">{{Citation|title=International Mathematical Olympiad: 1976-1990|last=Reiman|first=István|year=2005|url=https://books.google.com/books?id=xE_qYoJBpf4C&pg=PA170|publisher=Anthem Press|pages=170–171|isbn=9781843312000}}.</ref>。これは[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]である。
;証明
{{Excerpt|オイラーの定理 (平面幾何学)|証明}}

== 双心四辺形 ==
すべての[[四角形]]が内接円と外接円を持つわけではない。<math>R>r</math>を満たす{{Mvar|r,R}}をそれぞれ半径とする円の中心の距離を{{Mvar|d}}とする。この2円に内接、外接する四角形が存在することと、以下の式が成り立つことは[[同値]]である<ref name="imo" /><ref>{{Citation|title=Subjects for mathematical essays|last=Davison|first=Charles|year=1915|url=https://books.google.com/books?id=Uz0_AQAAIAAJ&pg=PA98|publisher=Macmillan and co., limited|page=98}}.</ref>。

: <math>\frac{1}{(R-d)^2}+\frac{1}{(R+d)^2}=\frac{1}{r^2}</math>

この定理は[[双心四角形#外接円と内接円の関係|ファスの定理]]として知られている<ref>{{Citation|title=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution|last=Dörrie|first=Heinrich|year=1965|url=https://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA192|publisher=Courier Dover Publications|page=192|isbn=9780486613482}}.</ref>。

== n > 4の多角形 ==
{{Mvar|r,R,d}}を前項と同様に定義する。一般の双心n角形の{{Mvar|r,R,d}}の関係式は非常に複雑である<ref>{{Cite web |title=Poncelet's Porism |url=https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html |website=[[Mathworld]] |access-date=2024-07-17 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Cheng|first=Junhao|last2=Ma|first2=Long|last3=Zhou|first3=Yuanfeng|date=2023-09-01|title=A new method for researching and constructing spherical bicentric polygons based on geometric mapping|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016783962300064X|journal=Computer Aided Geometric Design|volume=105|pages=102232|doi=10.1016/j.cagd.2023.102232|issn=0167-8396}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Cieślak|first=Waldemar|last2=Mozgawa|first2=Witold|date=2018-11-01|title=The Fuss formulas in the Poncelet porism|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167839618300943|journal=Computer Aided Geometric Design|volume=66|pages=19–30|doi=10.1016/j.cagd.2018.07.006|issn=0167-8396}}</ref>。

以下に、いくつかの双心n角形の{{Mvar|r,R,d}}に関する関係式を挙げた。

: <math>n=5: \quad r(R-d)=(R+d)\sqrt{(R-r+d)(R-r-d)}+(R+d)\sqrt{2R(R-r-d)} ,</math>
: <math>n=6: \quad 3(R^2-d^2)^4=4r^2(R^2+d^2)(R^2-d^2)^2+16r^4d^2R^2 ,</math>
: <math>n=8: \quad 16p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^4 ,</math>

ただし、<math>p=\frac{R+d}{r},q=\frac{R-d}{r} </math>である。

== 正多角形 ==
全ての[[正多角形]]は双心である<ref name="imo" />。さらに、その外接円と内接円は[[同心円]]となる。また、内接円の半径は [[辺心距離]]と等しい。 

辺長が{{Mvar|a}}である正n角形について、次の式が成立する。

: <math>R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi}{n}}=\frac{r}{\cos \frac{\pi}{n}}.</math>

[[定規とコンパスによる作図]]可能な正多角形についてはいかのような関係式がある。
{| class="wikitable"
|<math>n \!\, </math>
|<math>R \, \text{and} \, a \!\, </math>
|<math>r  \, \text{and} \, a \!\, </math>
|<math>r\, \text{and} \, R \!\, </math>
|-
|[[正三角形|3]]
|<math> R\sqrt{3}=a \!\, </math>
|<math> 2r = \frac{a}{3}\sqrt{3} \!\, </math>
|<math> 2r= R \!\, </math>
|-
|[[正方形|4]]
|<math> R\sqrt{2} = a\!\, </math>
|<math> r= \frac{a}{2} \!\, </math>
|<math> 2r = R\sqrt{2} \!\, </math>
|-
|[[五角形|5]]
|<math> R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=a\!\, </math>
|<math> r\left(\sqrt{5}-1\right) = \frac{a}{10}\sqrt{50+10\sqrt{5}} \!\, </math>
|<math> r(\sqrt{5}-1) =R \!\, </math>
|-
|[[六角形|6]]
|<math> R=a \!\, </math>
|<math> \frac{2r}{3}\sqrt{3} = a \!\, </math>
|<math> \frac{2r}{3}\sqrt{3} = R \!\, </math>
|-
|[[八角形|8]]
|<math> R \sqrt{2+\sqrt{2}} = a\left(\sqrt{2}+1\right) \!\, </math>
|<math> r \sqrt{4-2\sqrt{2}} = \frac{a}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}} \!\, </math>
|<math> 2r \left(\sqrt{2}-1\right) = R\sqrt{2-\sqrt{2}} \!\, </math>
|-
|[[十角形|10]]
|<math> (\sqrt{5}-1)R=2a \!\, </math>
|<math> 2r\sqrt{25-10\sqrt{5}}=5a \!\, </math>
|<math> \frac{2r}{5} \sqrt{25-10\sqrt{5}} = \frac{R}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) \!\, </math>
|}
外半径、内半径、1辺に長さの比の[[近似値]]は以下のようになる。
{| class="wikitable"
|<math>n \!\, </math>
|
|<math>R/a \!\, </math>
|
|<math>r/a \!\, </math>
|
|<math>R/r \!\, </math>
|-
|<math> 3 \, </math>
|
|<math>0.577 \, </math>
|
|<math>0.289</math>
|
|<math>2.000 \, </math>
|-
|<math> 4 </math>
|
|<math>0.707 \, </math>
|
|<math> 0.500 </math>
|
|<math>1.414 \, </math>
|-
|<math> 5 </math>
|
|<math>0.851 \, </math>
|
|<math> 0.688 </math>
|
|<math>1.236 \, </math>
|-
|<math> 6 </math>
|
|<math>1.000 \, </math>
|
|<math> 0.866 </math>
|
|<math>1.155 \, </math>
|-
|<math> 8 </math>
|
|<math>1.307 \, </math>
|
|<math> 1.207 </math>
|
|<math>1.082 \, </math>
|-
|<math> 10 </math>
|
|<math>1.618 \, </math>
|
|<math> 1.539 </math>
|
|<math>1.051 \, </math>
|}

== ポンスレの閉形問題 ==
{{Main|ポンスレの閉形定理}}
2つの円に外接、内接するようなn角形が1つでも存在すれば、同様にその2円に外接、内接するn角形が無数に存在する。これは[[ポンスレの閉形定理]]と呼ばれる。より一般には円を[[円錐曲線]]へ置き換えても成り立つ<ref>{{Citation|title=Poncelet's Theorem|last=Flatto|first=Leopold|year=2009|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821886267}}.</ref>。

さらに、そのような多角形のどの対角線もある円錐曲線へ接する<ref>{{Cite book|和書 |title=Advanced Euclidean Geometry |year=1929 |publisher=Dover Publ |page=94 |author=Johnson, Roger A.}}</ref>。

== 関連項目 ==

* [[ヴァイルの定理 (幾何学)|ヴァイルの定理]]
* [[円外接多角形]]
* [[Circumgon|円外接多角形状図形]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Bicentric polygon|urlname=BicentricPolygon}}
{{デフォルトソート:そうしんたかくけい}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]