双曲型偏微分方程式のソースを表示

{{more footnotes|date=January 2013}}
[[数学]]の分野における、''n'' 階の'''双曲型偏微分方程式'''（そうきょくがたへんびぶんほうていしき、{{Lang-en-short|hyperbolic partial differential equation}}）とは、大まかには、''n''&minus;1 階微分まで[[良設定問題|良設定]]な[[初期値問題]]を含む[[偏微分方程式]]のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことの出来る[[コーシー問題]]のことを言う。[[力学]]に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は本質的に重要かつ時代の要求に即したものとして、興味の注がれるものである。双曲型方程式の代表例として、[[波動方程式]]が挙げられる。空間が一次元の場合では、その方程式は
:<math>u_{tt} - u_{xx} = 0\,</math>
として与えられる。この方程式には、もし ''u'' とその一階微分が（十分に滑らかな性質を備えた）初期直線 ''t''&nbsp;=&nbsp;0 上で任意に特徴付けられる初期データであるなら、すべての時間に対して方程式の解が存在する、という性質がある。

双曲型方程式の解は、「波状」（wave-like）である。双曲型微分方程式の初期データにある擾乱（disturbance）が加えられたとしても、空間のすべての点がその影響を同時に受けることはない。固定された時間座標について、そのような擾乱の[[位相速度|伝播速度]]は有限である。そのような擾乱は、方程式の[[特性曲線法|特性曲線]]に沿って移動する。この特徴は、双曲型方程式を[[楕円型偏微分方程式|楕円型方程式]]や[[放物型偏微分方程式|放物型方程式]]と区別するものである。楕円型や放物型の方程式の初期（あるいは境界）データに対して与えられる摂動は、本質的に領域内のすべての点に同時に影響を与える。

双曲性の定義は、本質的には定性的（qualitative）なものであるが、考えている微分方程式の種類に依存して、それを判断するための正確な基準が存在する。[[微分作用素|線型微分作用素]]に対して十分に開発された定理は、{{仮リンク|ラース・ガーディン|en|Lars Gårding}}による[[超局所解析]]の研究に見られる。非線型微分方程式は、その線型化がガーディンの意味で双曲型であるなら、双曲型である。[[保存則|保存則系]]に現れる一階の方程式系に対しても、また幾分か異なる定理が存在する。

== 定義 ==
偏微分方程式がある点 ''P'' において双曲型であるとは、''P'' を通る非特性的超曲面上の任意の初期データに対して、その[[コーシー問題]]が ''P'' のある近傍において一意に解くことが出来ることを言う<ref>Rozhdestvenskii</ref>。 <!--未訳 Here the prescribed initial data consists of all (transverse) derivatives of the function on the surface up to one less than the order of the differential equation.-->

== 例 ==
: <math> Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + \text{(lower order terms)} = 0 \,</math>
の形で記述され、
:<math> B^2 - 4 A C > 0 \,</math>
を満たすような任意の方程式は、変数の線型変換によって、波動方程式へと変換することが出来る。ただし、低階の項（lower order terms）が残るが、それらは方程式の定性的な理解においては本質的ではない<ref>Evans 1998, p.400</ref>。この定義は、平面の[[双曲線]]の定義と類似のものである。

一次元の[[波動方程式]]
:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0</math>
は、双曲型方程式の一例である。二次元および三次元の波動方程式も同様に、双曲型偏微分方程式の範疇に含まれる。

このタイプの二階の双曲型偏微分方程式は、一階の微分方程式からなる双曲系（hyperbolic system）へと変換出来る場合もある<ref>Evans 1998, p.402</ref>。

== 偏微分方程式の双曲系 ==
<math>\vec x \in \mathbb{R}^d</math> とし、<math>s</math> 個の[[関数 (数学)|未知関数]] <math> \vec u = (u_1, \ldots, u_s) </math>, <math> \vec u =\vec u (\vec x,t)</math> に対して、次の一階偏微分方程式系を考える：
:<math>(*) \quad \frac{\partial \vec u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 \vec {f^j} (\vec u) = 0.
</math>
ここで <math>\vec {f^j} \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s), j = 1, \ldots, d</math> は[[連続 (数学)|連続的]][[微分可能]]な関数であり、一般的には[[非線型]]である。

今、各 <math>\vec {f^j}</math> に対して、<math>s \times s</math> [[行列]]
:<math>A^j:=
\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_1} & \cdots &
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_s}
\end{pmatrix}
,\text{ for }j = 1, \ldots, d</math>
を定義する。

この時、系 <math>(*)</math> が'''双曲的'''であるとは、すべての <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R}</math> に対し、行列 <math>A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d</math> が[[対角化|対角化可能]]であり、その[[固有値]]が全て実数であることを言う。

行列 <math>A</math> が「異なる」実固有値を持つ場合には、対角化可能である。この場合、系 <math>(*)</math> は'''厳密に双曲的'''（strictly hyperbolic）であると言う。

== 双曲系と保存則 ==
双曲系と[[保存則]]には関連がある。一つの未知関数 <math>u = u(\vec x, t)</math> についての一つの微分方程式からなる双曲系を考える。この場合、系 <math>(*)</math> は次の形で記述される：
:<math>(**) \quad \frac{\partial u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 {f^j} (u) = 0.
</math>
今、<math>u</math> は[[流束]] <math>\vec f = (f^1, \ldots, f^d)</math> を備えるある量であると考えられる。この量が保存されることを示すために、系<math>(**)</math> を領域 <math>\Omega</math> について[[積分]]する：
:<math>\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} d\Omega + \int_{\Omega} \nabla \cdot \vec f(u) d\Omega = 0.</math>
<math>u</math> と <math>\vec f</math> が十分に[[滑らかな関数]]であるなら、[[発散定理]]を使い、また積分と <math>\partial / \partial t</math> の順序の交換を行うことで、一般的な形での量 <math>u</math> についての保存則
:<math>\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u d\Omega  + \int_{\partial\Omega} \vec f(u) \cdot \vec n d\Gamma = 0 </math>
を得ることが出来る。この式は、領域 <math>\Omega</math> 内の <math>u</math> の時間変化の割合が、境界 <math>\partial\Omega</math> に沿った正味の流束と等しいことを意味している。これは単一の等式であるため、<math>u</math> は <math>\Omega</math> 内で保存されていると結論付けることが出来る。

== 関連項目 ==
* [[楕円型偏微分方程式]]
* [[準楕円型作用素]]
* [[放物型偏微分方程式]]
* {{仮リンク|相対論的熱伝導|en|Relativistic heat conduction}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | origyear=1998 | url=http://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-4974-3 | id={{MathSciNet | id = 2597943}} | year=2010 | volume=19}}
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
*{{SpringerEOM|title=Hyperbolic partial differential equation|last= Rozhdestvenskii|first=B.L.|urlname=Hyperbolic_partial_differential_equation}}

== 外部リンク ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpdetoc2.pdf Linear Hyperbolic Equations] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Hyperbolic Equations] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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