双曲型平衡点のソースを表示

[[数学]]の[[力学系]]の研究において、'''双曲型平衡点'''（そうきょくがたへいこうてん、{{Lang-en-short|hyperbolic equilibrium point}}）あるいは'''双曲型不動点'''（そうきょくがたふどうてん、{{Lang-en-short|hyperbolic fixed point}}）とは、{{仮リンク|中心多様体|en|center manifold}}を持たない[[不動点]]のことを言う。[[双曲線関数|双曲点]]の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz<ref>{{cite book|last=Strogatz|first=Steven|title=Nonlinear Dynamics and Chaos|year=2001|publisher=Westview Press}}</ref> は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる<ref>{{cite book|last=Ott|first=Edward|title=Chaos in Dynamical Systems|year=1994|publisher=Cambridge University Press}}</ref>：

* [[安定多様体]]と不安定多様体が存在する；
* [[擬軌道尾行性の補題|擬軌道尾行]]が生じる；
* 不変集合上での挙動は{{仮リンク|記号力学|en|symbolic dynamics}}によって表現できる；
* 自然測度が定義される；
* 系は[[構造安定]]である。

[[Image:Phase Portrait Sadle.svg|thumb|right|二次元の鞍点の近くでの軌道（双曲型平衡点の一例）]]

== 写像 ==

''T'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> は ''C''<sup>1</sup> 写像で、''p'' はその[[不動点]]とする。[[ヤコビ行列]] ''DT''(''p'') が単位円上に固有値を持たないとき、''p'' は'''双曲型不動点'''と呼ばれる。

唯一つの不動点が双曲型であるような[[写像]]の一例として、次の[[アーノルドの猫写像]]が挙げられる：

:<math>\begin{bmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_n\\ y_n\end{bmatrix} \quad \text{modulo }1.</math>

実際、固有値は次のようになる。

:<math>\lambda_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1</math> 
:<math>\lambda_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1</math>

== フロー ==

''F'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> を、臨界点 ''p'' を持つ ''C''<sup>1</sup> [[ベクトル場]]とする。すなわち ''F(p) = 0'' が成立するものとする。また ''J'' を ''F'' の ''p'' における[[ヤコビ行列]]とする。行列 ''J'' に実部がゼロとなる固有値が存在しないとき、''p'' は'''双曲型'''と呼ばれる。双曲型平衡点はまた、'''双曲型臨界点'''（hyperbolic critical point）あるいは'''初等的臨界点'''（elementary critical point）とも呼ばれる<ref>Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X</ref>。

[[ハートマン＝グロブマンの定理]]によると、双曲型平衡点のある[[近傍]]における力学系の軌道構造は、[[線型化]]力学系の軌道構造と[[位相共役性|位相共役]]となる。

=== 例 ===

次の非線型系を考える。
:<math>\frac{ dx }{ dt } = y,</math>
:<math>\frac{ dy }{ dt } = -x-x^3-\alpha y,~ \alpha \ne 0</math>

この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は

:<math>J(0,0) = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & -\alpha \end{pmatrix}</math>.

となる。この行列の固有値は <math>\frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-4}}{2}</math> である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。

== 注意 ==

無限次元系 - 例えば時間遅れを含む系 - の場合、「スペクトルの双曲部」（hyperbolic part of the spectrum）の概念が、上述の性質のことを指す。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|アノソフ微分同相|label=アノソフフロー|en|Anosov diffeomorphism}}
* [[双曲型集合]]
* {{仮リンク|法双曲不変多様体|en|Normally hyperbolic invariant manifold}}

== 脚注 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:そうきよくかたへいこうてん}}
[[Category:力学系]]
[[Category:極限集合]]
[[Category:安定性理論]]
[[Category:数学に関する記事]]