双曲型集合のソースを表示

[[数学]]の{{仮リンク|力学系理論|en|dynamical systems theory}}において、ある[[多様体|滑らかな多様体]] ''M'' の部分集合 &Lambda; が、ある[[滑らかな関数|滑らかな写像]] ''f'' に関する'''双曲型構造'''（そうきょくがたこうぞう、{{Lang-en-short|hyperbolic structure}}）を持つとは、その[[接束]]を二つの不変な{{仮リンク|部分束|en|subbundle}}に分解でき、''M'' 上のある[[リーマン多様体|リーマン計量]]に関して、その一方は ''f'' の下で縮小で、もう一方は拡大となることを言う。類似の定義は[[フロー (数学)|フロー]]に対しても適用できる。

全多様体 ''M'' が双曲型であるような特別な場合は、写像 ''f'' は{{仮リンク|アノソフ微分同相|en|Anosov diffeomorphism}}と呼ばれる。ある双曲型集合上での ''f'' の力学、あるいは'''双曲型力学'''と呼ばれるものは、局所的な[[構造安定|構造安定性]]を示すもので、長い間多くの研究がなされている。例えば{{仮リンク|公理A|en|Axiom A}}を参照。

== 定義 ==

''M'' は[[コンパクト空間|コンパクト]]かつ[[可微分多様体|滑らかな多様体]]、''f'': ''M'' &rarr; ''M'' は[[微分同相]]、''Df'': ''TM'' &rarr; ''TM'' は ''f'' の{{仮リンク|押し出し (微分)|label=微分|en|pushforward (differential)}}とする。''f''-不変な ''M'' の部分集合 &Lambda; が'''双曲型'''である、あるいは'''双曲型構造'''を持つとは、''M'' の接束の &Lambda; への制限を、'''安定束 '''''E''<sup>''s''</sup> および'''不安定束''' ''E''<sup>''u''</sup> と呼ばれる二つの ''Df''-不変な部分束に分解できることを言う。''M'' 上のある[[リーマン計量]]に関して、''Df'' の ''E''<sup>''s''</sup> への制限は縮小であり、''E''<sup>''u''</sup> への制限は拡大となる。したがって、ある定数 0<''&lambda;''<1 および ''c''>0 が存在し、

:<math>T_\Lambda M = E^s\oplus E^u,</math>

:<math>(Df)_x E^s_x = E^s_{f(x)}</math> and <math>(Df)_x E^u_x = E^u_{f(x)}</math> for all <math>x\in \Lambda,</math>

:<math>\|Df^nv\| \le c\lambda^n\|v\|</math> for all <math>v\in E^s</math> and <math>n> 0</math>,

および

:<math>\|Df^{-n}v\| \le c\lambda^n \|v\|</math> for all <math>v\in E^u</math> and <math>n>0</math>

が成り立つ。&Lambda; が双曲型であるなら、''c''&nbsp;=&nbsp;1 となるようなあるリーマン計量が存在し、そのような計量は'''適合'''（adapted）と呼ばれる。

== 例 ==
* [[双曲型平衡点]] ''p'' は、(''Df'')<sub>''p''</sub> が[[絶対値]] 1 の固有値を持たないような ''f'' の[[平衡点]]である。この場合 &Lambda; = {''p''} となる。
* より一般に、周期 ''n'' であるような ''f'' の[[周期点|周期軌道]]が双曲型であるための必要十分条件は、その軌道の任意の点における ''Df''<sup>''n''</sup> が絶対値 1 の固有値を持たないことである。この条件を示す上では、その軌道の一つの点のみを調べれば十分である。

== 参考文献 ==
* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X
* {{cite book | author1=Brin, Michael | author2=Garrett, Stuck | title=Introduction to Dynamical Systems | publisher=Cambridge University Press | year=2002 | isbn=0-521-80841-3}}

{{PlanetMath attribution|id=34338|title=Hyperbolic Set}}

{{DEFAULTSORT:そうきよくかたしゆうこう}}
[[Category:力学系]]
[[Category:極限集合]]
[[Category:数学に関する記事]]