双曲多様体のソースを表示

[[数学]]において'''双曲多様体'''（そうきょくたようたい、{{Lang-en-short|hyperbolic manifold}}）とは、すべての点が局所的にはある次元の{{仮リンク|双曲空間|en|hyperbolic space}}であるように見える空間（＝可微分多様体）のことを言う。特に 2 次元および 3 次元において研究され、そのような場合には[[リーマン面|双曲曲面]]および[[双曲3次元多様体]]とそれぞれ呼ばれる。それらの次元においてこの多様体が重要となる理由として、殆どの[[多様体]]は[[位相同型]]によって双曲多様体に作り変えることが出来る、という点が挙げられる。これは曲面に対する[[一意化定理]]や、[[グレゴリー・ペレルマン|ペレルマン]]によって証明された 3 次元多様体に対する[[幾何化予想|幾何化定理]]の帰結である。

[[Image:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|thumb|[[双曲3次元多様体]] H<sup>3</sup> における[[テッセレーション|十二面体的テッセレーション]]の透視投影。双曲 3 次元多様体の内側にいる人が観測するであろうものの例である。]]

[[File:The Pseudosphere.jpg|thumb|[[トラクトリックス|牽引線]]の回転体として得られる{{仮リンク|擬球|en|pseudosphere}}。この形状の各半面が、境界を含む双曲 2 次元多様体（すなわち、曲面）になっている。]]

== 厳密な定義 ==

'''双曲 <math>n</math>-多様体'''は、[[断面曲率]]が定数 -1 であるような完全 ''n''-次元[[リーマン多様体]]である。

負の定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 <math>\mathbb{H}^n</math> と[[等長写像|等長]]である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は <math>\mathbb{H}^n</math> である。したがって、そのようなすべての M は、<math>\mathbb{H}^n</math> 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、<math>\mathbb{H}^n/\Gamma</math> と書くことが出来る。すなわち、Γ は <math>SO^+_{1,n}\mathbb{R}</math> の離散部分群である。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、Γ が格子であることである。

その{{仮リンク|厚薄分解|en|thick-thin decomposition}}は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド ''n-1''-次元多様体と閉半直線の積である厚い部分からなる。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。

''n'' > 2 に対し、双曲 ''n''-次元多様体の有限体積上の双曲構造は、[[モストウの剛性定理]]によって一意であり、したがって幾何的不変性は位相的不変性である。

== 関連項目 ==
* [[双曲3次元多様体]]
* {{仮リンク|マルグリスの補題|en|Margulis lemma}}
* {{仮リンク|双曲空間|en|Hyperbolic space}}
* {{仮リンク|双曲化定理|en|Hyperbolization theorem}}
* {{仮リンク|正規双曲不変多様体|en|Normally hyperbolic invariant manifold}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Kapovich | first1=Michael | title=Hyperbolic manifolds and discrete groups | origyear=2001 | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Modern Birkhäuser Classics | isbn=978-0-8176-4912-8 | doi=10.1007/978-0-8176-4913-5 | year=2009 | mr=1792613}}
* {{Citation | last1=Maclachlan | first1=Colin | last2=Reid | first2=Alan W. | title=The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds | url=https://books.google.co.jp/books?id=yrmT56mpw3kC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98386-8 | year=2003 | volume=219 | mr=1937957}}
* {{Citation | last1=Ratcliffe | first1=John G. | title=Foundations of hyperbolic manifolds | origyear=1994 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-33197-3 | doi=10.1007/978-0-387-47322-2 | year=2006 | volume=149 | mr=2249478}}
* [https://arxiv.org/abs/0903.3287 Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen]

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