双極定理のソースを表示

[[数学]]において、'''双極定理'''（そうきょくていり、{{Lang-en-short|bipolar theorem}}）とは、[[錐 (線型代数学)|錐]]がその[[双対錐と極錐|双極]]と等しいための[[必要十分条件]]を与える[[凸解析]]の一[[定理]]である。双極定理は、[[フェンシェル＝モローの定理]]の特別な場合と見なすことが出来る<ref name="BorweinLewis">{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |authorlink1=:en:Jonathan Borwein|last2=Lewis |first2=Adrian |title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples| edition=2 |year=2006 |publisher=Springer |isbn=9780387295701}}</ref>{{rp|76–77}}。

== 定理の内容 ==

ある[[線型空間]] <math>X</math> 内の任意の[[空集合|空でない集合]] <math>C \subset X</math> に対し、双極錐 <math>C^{oo} = (C^o)^o</math> は次で与えられる。

:<math>C^{oo} = \operatorname{cl}(\operatorname{co} \{\lambda c: \lambda \geq 0, c \in C\})</math>

ここで <math>\operatorname{co}</math> は[[凸包]]を表す<ref name="BorweinLewis"/>{{rp|54}}<ref name="Boyd">{{cite book|title=Convex Optimization|first1=Stephen P.|last1=Boyd|first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521833783|url=http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|format=pdf|accessdate=October 15, 2011|pages=51–53}}</ref>。

=== 特別な場合 ===
<math>C \subset X</math> が空でない[[閉包|閉]][[凸錐]]であるための必要十分条件は、<math>C^{++} = (C^+)^+</math> であるときに <math>C^{++} = C^{oo} = C</math> であることである。ここで <math>(\cdot)^+</math> は正の双対錐を表す<ref name="Boyd"/><ref name="Rockafellar">{{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=9780691015866|pages=121–125}}</ref>。

あるいはより一般に、<math>C</math> が凸錐であるなら双極錐は次で与えられる。
:<math>C^{oo} = \operatorname{cl} C.</math>

== フェンシェル＝モローの定理との関係 ==

<math>f(x) = \delta(x|C) = \begin{cases}0 & \text{if } x \in C\\ +\infty & \text{else}\end{cases}</math> はある錐 <math>C</math> に対する[[指示函数]]とする。このとき、[[凸共役性|凸共役]] <math>f^*(x^*) = \delta(x^*|C^o) = \delta^*(x^*|C) = \sup_{x \in C} \langle x^*,x \rangle</math> は <math>C</math> に対する{{仮リンク|支持函数|en|Support function}}であり、<math>f^{**}(x) = \delta(x|C^{oo})</math> である。したがって、<math>C = C^{oo}</math> であるための必要十分条件は、<math>f = f^{**}</math> である<ref name="BorweinLewis"/>{{rp|54}}<ref name="Rockafellar"/>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:そうきよくていり}}
[[Category:凸解析]]
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]