双極座標系のソースを表示

<!-- {{See also|two-center bipolar coordinates}} -->
[[File:Iso1.svg|thumb|right|350px|双極座標系]]

'''双極座標系'''（そうきょくざひょうけい、{{lang-en|Bipolar coordinates}}）は[[アポロニウスの円束]]を[[基底 (線型代数学)|基底]]とした{{仮リンク|直交座標|en|Bipolar coordinates|label=直交}}[[座標系]]である<ref name=bip>[http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm Eric W. Weisstein, '''Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM''', ''Bipolar Coordinates'', CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999<!-- Bot generated title -->] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20071212005309/http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm |date=December 12, 2007 }}</ref>。紛らわしいことに、双極座標という言葉は{{仮リンク|二中心双極座標|en|Two-center bipolar coordinates}}に対しても使用される。また、{{仮リンク|双角座標系|en|Biangular coordinates}}という座標系もある。

「双極」という言葉は2つの特異点（焦点）を持つ他の曲線（[[楕円曲線]]、[[双曲線]]、[[カッシーニの卵形線]]等）を指して使われることもある。しかしながら、「双極座標」という言葉はこの項で述べるような座標系のことを指し、{{仮リンク|楕円座標系|en|Elliptic coordinates}}のような他の曲線に関連した座標系には使われない。

[[File:Bipolar coordinates.png|thumb|right|350px|双極座標系の幾何学的解釈。角度σは2つの焦点と点'''P'''によって形成されているが、 ''τ'' は焦点への距離の割合の対数である。定数 ''σ'' と ''τ'' に対応する円は赤と青で示され、直角に交わる（図の赤紫色の四角で示されている部分）。すなわち、赤と青の円は直交している。]]

== 定義 ==
双極座標系は2つの[[焦点 (幾何学)|焦点]] ''F''<sub>1</sub> と ''F''<sub>2</sub> を基底とする。右に掲載されている図で言えば、点 ''P'' の ''σ'' 座標は角 ''F''<sub>1</sub>&nbsp;''P''&nbsp;''F''<sub>2</sub>に等しく、 ''τ'' 座標は距離''d''<sub>1</sub> と''d''<sub>2</sub>の比の[[自然対数]]に等しい。

:<math>
\tau = \ln \frac{d_1}{d_2}
</math>

もし、[[直交座標系]]において、焦点が (−''a'',&nbsp;0) と (''a'',&nbsp;0) に取られれば、点 ''P'' の座標は

:<math>
x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}, \qquad y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}
</math>

座標 ''τ'' は<math>-\infty</math>（''F''<sub>1</sub>に近い点に対する値）から<math>\infty</math>（''F''<sub>2</sub>に近い点に対する値）まで変化する。座標 ''σ'' はmod 2πと定義され、点 ''P'' が[[上半平面|下半平面]]に位置する場合は鋭角''F''<sub>1</sub>&nbsp;''P''&nbsp;''F''<sub>2</sub> の負とすることにより、''-π'' から ''π'' の範囲に取るのが最適である。

== 座標系が直交であることの証明 ==

''x'' と ''y'' の等式を組み合わせることで以下を得る。

:<math>
x + i y = a i \cot\left( \frac{\sigma + i \tau}{2}\right)
</math><ref name="Polyanin"/><ref name="Happel"/>

この等式は ''σ'' と ''τ'' が（対数[[分岐点 (数学)|分岐点]]が焦点にある）''x+iy'' についての[[解析関数]]の実部と虚部であることを示している。これにより、（[[等角写像]]の一般的理論も踏まえると） ''σ'' と ''τ''の曲線が直交することが証明される。すなわち、座標系が直交であることも同時に証明される。

== 定数 ''σ'' と ''τ'' の曲線 ==

[[File:Bipolar sigma isosurfaces.png|right|280px]]

[[File:Bipolar tau isosurfaces.png|right|280px]]

定数 ''σ'' の曲線は非同心円に対応している。

:<math>
x^2 +
\left( y - a \cot \sigma \right)^2 = \frac{a^{2}}{\sin^2 \sigma}
</math>

これは2つの焦点に交わる。 定数 ''σ'' の円の中心は ''y''軸上に存在する。正の ''σ'' の円は ''x'' 軸上部に中心があるが、負の ''σ'' の円の中心は ''x'' 軸下部に存在する。 |''σ''| が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心は原点 (0,&nbsp;0) に近づく。|''σ''| = ''π'' のときに原点に達する。

定数 <math>\tau</math> の曲線は異なる半径の交差しない円となる。

:<math>
y^2 +
\left( x - a \coth \tau \right)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}
</math>

これは焦点を囲むが、同心ではない。定数 ''τ'' の円の中心は ''x'' 軸上に存在する。正の ''τ'' の円は平面の右側 (''x''&nbsp;>&nbsp;0) に存在するが、負の ''τ'' の円は平面の左側 (''x''&nbsp;<&nbsp;0) に存在する。''τ''&nbsp;=&nbsp;0 の曲線は ''y'' 軸 (''x''&nbsp;=&nbsp;0) に等しい。''τ'' が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心が焦点に近づく。

==相反関係==
直交座標から双極座標への推移は次の公式によってなされる。
:<math>
  \tau = \frac{1}{2} \ln \frac{(x + a)^2 + y^2}{(x - a)^2 + y^2}
</math>
と
:<math>
  \pi - \sigma = 2 \arctan \frac{2ay}{a^2 - x^2 - y^2 + \sqrt{(a^2 - x^2 - y^2)^2 + 4 a^2 y^2} }
</math>
である。

この座標系は次のような恒等式も持っている。
:<math>
  \tanh \tau = \frac{2 a x}{x^2 + y^2 + a^2}
</math>
と
:<math>
  \tan \sigma = \frac{2 a y}{x^2 + y^2 - a^2}
</math>
である。

== スケール因子 ==
双極座標系におけるスケール因子を得るために、<math> x + iy </math> の微分を取る。すると次の式を得る。
:<math>
dx + i\, dy = \frac{-ia}{\sin^2\bigl(\tfrac{1}{2}(\sigma + i \tau)\bigr)}(d\sigma +i\,d\tau).
</math>
[[共役複素数]]を両辺に掛けることで次の式を得る。
:<math>
(dx)^2 + (dy)^2 = \frac{a^2}{\bigl[2\sin\tfrac{1}{2}\bigl(\sigma + i\tau\bigr) \sin\tfrac{1}{2}\bigl(\sigma - i\tau\bigr)\bigr]^2} \bigl((d\sigma)^2 + (d\tau)^2\bigr).
</math>
サインとコサインに関して、三角関数の公式を適用することで次の式を得る。
:<math>
2\sin\tfrac{1}{2}\bigl(\sigma + i\tau\bigr) \sin\tfrac{1}{2}\bigl(\sigma - i\tau\bigr)
 = \cos\sigma - \cosh\tau,
</math>
ここから以下の式が従う。
:<math>
(dx)^2 + (dy)^2 = \frac{a^2}{(\cosh \tau - \cos\sigma)^2} \bigl((d\sigma)^2 + (d\tau)^2\bigr).
</math>

そのため ''σ'' と ''τ'' のスケール因子は等しく、以下によって与えられる。
:<math>
h_\sigma = h_\tau = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}.
</math>

[[直交座標]]に関する一般公式からさまざまな結果が従う。
よって、ひとつの無限小の面積は以下に等しい。

:<math>
dA = \frac{a^2}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2} \, d\sigma\, d\tau
</math>

このとき、[[ラプラシアン]]は以下で与えられる。

:<math>
\nabla^2 \Phi =
\frac{1}{a^2} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2
\left( 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \sigma^2} + 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \tau^2}
\right).
</math>

<math>\nabla f</math>, <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{F}</math>の式はスケール因子を直交座標系の一般公式に代入することでも得ることができる。

==応用==
双極座標系の古典的な応用のひとつが[[ラプラス方程式]]や[[ヘルムホルツ方程式]]等の[[偏微分方程式]]の解を求めることである。これは双極座標系が[[変数分離]]を許容するためである。例のひとつが、2つの平行する、互いに異なる直径の円筒形の導体を囲む[[電場]]である。

{{仮リンク|ポーラープロッター|en|Polar plotter}}は対象となる図の経路を描くのに、双極座標系を用いている。

==3次元への拡張==
双極座標系は一部の3次元[[直交座標]]の基底を成す。

*{{仮リンク|双円筒座標系|en|bipolar cylindrical coordinates}}は双極座標系を ''z'' 軸方向に平行移動することで得られる。''z'' 軸は平面に対して上下方向の軸である。

*[[双球座標系]]は双極座標系を ''x'' 軸で回転させることで得られる。''x'' 軸は焦点を結ぶ軸である。

*{{仮リンク|トロイダル座標系|en|toroidal coordinates}}は双極座標系を ''y'' 軸で回転させることで得られる。''y'' 軸は焦点を分ける軸である。

==参考文献==
{{Reflist|refs=
<ref name="Polyanin">{{cite book|last=Polyanin|first=Andrei Dmitrievich|title=Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists|url= https://books.google.com/books?id=NLnwhsevQGEC&pg=PA476#v=onepage&q&f=false|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=1-58488-299-9|page=476}}
</ref>
<ref name="Happel">{{cite book|last1=Happel|first1=John|last2=Brenner|first2=Howard|title=Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media|url=https://books.google.com/books?id=tWO2xJZbweIC&pg=PA497#v=onepage&q&f=false|series=Mechanics of fluids and transport processes|volume=1|year=1983|publisher=Springer|isbn=978-90-247-2877-0|page=497}}
</ref>
}}
* {{SpringerEOM|title=Bipolar coordinates|urlname=Bipolar_coordinates}}
* Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.

{{DEFAULTSORT:そうきよくさひようけい}}
[[Category:座標]]
[[Category:数学に関する記事]]