双直交系のソースを表示

[[数学]]において、[[ベクトル空間の双対系|双対性]]（双線型形式 &lang;,&rang;）を持つ[[位相線型空間]]の[[順序対|対]] ''E'', ''F'' に関する'''双直交系'''（そうちょっこうけい、{{Lang-en-short|biorthogonal system}}; 二重直交系）とは、
:<math> \langle v_i , u_j\rangle = \delta_{i,j}\qquad (i,j\in I)</math>
を満たす（''I'' は適当な[[添字集合]]で、&delta; は[[クロネッカーのデルタ]]）ベクトルの[[族 (数学)|族]]の対 ({''v''<sub>''i''</sub> &isin; ''E''}, {''u''<sub>''i''</sub> &isin; ''F''}) を言う。''E'' = ''F'' かつ ''v''<sub>''i''</sub> = ''u''<sub>''i''</sub> (&forall;''i''&isin; ''I'') なるときの双直交系は、すなわち[[正規直交系]]である。

<math>L^2 [0,2\pi]</math> において、函数族 <math> \cos (nx) </math> および <math> \sin (nx) </math> は二重直交系を構成する。その他の例として、行列の、固有値によって添字付けられる左固有ベクトルの集合と右固有ベクトルの集合の対は双直交系である{{cn|date=January 2013}}。

== 射影 ==
二重直交系に関して、射影
:<math>P:= \sum_{i \in I} u_i \otimes v_i, \qquad(( u \otimes v) (x):= u \langle v, x\rangle)</math>
が得られる。この射影の像は <math>\{u_i: i \in I\}</math> の[[線型包]]であり、その[[核 (代数学)|核]]は <math>\{\langle v_i, \cdot\rangle = 0: i \in I  \}</math> である。

必ずしも双直交でないベクトルの集合の対 <math>\mathbf{u}= (u_i)</math> および <math>\mathbf{v}= (v_i)</math> が与えられたとき、それに関する射影は
:<math>P= \sum_{i,j} u_i \left( \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle^{-1}\right)_{j,i} \otimes v_j</math>
で与えられる。ここで <math> \langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle </math> は成分が <math> \left(\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle\right)_{i,j}= \langle v_i, u_j\rangle </math> であるような行列である。
* このとき、<math>\tilde u_i:= (I-P) u_i</math> および <math>\tilde v_i:= \left(I-P \right)^* v_i</math> は双直交系を成す。

== 関連項目 ==
* [[双対空間]]
* [[双対ペア]]
* [[直交|直交性]]
* [[直交化]]

== 参考文献 ==
* Jean Dieudonné, ''On biorthogonal systems'' Michigan Math. J.  2 (1953), no. 1, 7–20  [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.mmj/1028989861]
* Claude Brezinski: ''Biorthogonality and Its Applications to Numerical Analysis'', Marcel Dekker (Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 156), ISBN 0-8247-8616-5 (1992).

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