反対称関係のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
'''反対称関係'''（はんたいしょうかんけい、{{Lang-en-short|antisymmetric relation}}）とは、[[集合]] {{mvar|X}} に関する[[二項関係]] {{mvar|R}} であって、次の条件を満たすものをいう。
:<math>\forall x, y \in X \ (x R y \land y R x \; \Rightarrow \; x = y)</math>
すなわち、{{mvar|X}} の任意の元 {{mvar|x}} と {{mvar|y}} に対して「{{mvar|x}} から {{mvar|y}} への関係、および {{mvar|y}} から {{mvar|x}} への関係がともに成り立つならば、{{mvar|x}} = {{mvar|y}} である」ような関係のことである。この条件を'''反対称律'''（{{Lang-en-short|antisymmetric law}}）という。

また、反対称律は次の条件と[[同値]]である。
:<math>\forall x, y \in X \ (x R y \land x \ne y \Rightarrow \lnot y R x)</math>
すなわち、反対称関係とは「{{mvar|x}} から{{mvar|y}} への関係が成り立ち、かつ {{mvar|x}} と {{mvar|y}} が等しくないならば、{{mvar|y}} から {{mvar|x}} への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。

反対称律に加え、[[反射律]]および[[推移律]]が成り立つ二項関係を、[[順序]]関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、[[実数]]における大小関係 (≦) や集合における包含関係 (⊆) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (＜) が挙げられる。

反対称関係は[[対称関係]]の論理的[[否定]]ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係（等号＝など）もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは[[非対称関係]]と呼ばれる。なお、ある[[変換 (数学)|変換]]により[[正の数と負の数|符号]]が反転する性質を[[反対称性]]というが、この概念とも直接の関係はない。

== 参考文献 ==
*{{Citation
|last=Lipschutz
|first=Seymour
|author-link=:en:Seymour_Lipschutz
|last2=Lipson
|first2=Marc
|year=2007
|title=Schaum's outline of theory and problems of discrete mathematics
|publisher=McGraw-Hill
|location=New York
|edition=3rd
|series=Schaum's outline series
|isbn=978-0-07-151101-8
|url={{Google books|9KtFcFa81FcC|Schaum's outline of theory and problems of discrete mathematics|page=29|plainurl=yes}}
}}
**{{Cite book|和書
|first=Seymour
|last=Lipschutz
|others=成嶋弘 監訳
|date=1995-03-24
|title=離散数学　コンピュータサイエンスの基礎数学
|series=マグロウヒル大学演習
|publisher=オーム社
|isbn=978-4-274-13005-2
|ref={{Harvid|Lipschutz|1995}}
}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[対称関係]]
*[[対称性]]
*[[二項関係]]
*[[反対称性]]
*[[非対称関係]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|反対称律}}
*{{MathWorld|title=Antisymmetric Relation|urlname=AntisymmetricRelation}}

{{DEFAULTSORT:はんたいしようかんけい}}
[[Category:二項関係]]
[[Category:数学に関する記事]]