反応拡散系のソースを表示

[[File:Reaction-Diffusion.gif|thumb|[https://groups.csail.mit.edu/mac/projects/amorphous/GrayScott/ グレイ＝スコット モデル]を使用した、トーラス上の2つの仮想的な化学反応と拡散のシミュレーション ]]
'''反応拡散系'''（はんのうかくさんけい、{{Lang-en-short|reaction-diffusion system}}）とは、空間に分布された一種あるいは複数種の物質の濃度が、物質がお互いに変化し合うような局所的な[[化学反応]]と、空間全体に物質が広がる[[拡散]]の、二つのプロセスの影響によって変化する様子を数理モデル化したものである。
==概要==
反応拡散系は、[[化学]]の分野において自然な形で応用されるものである。しかし、化学的ではない動力学過程を表現する上でも、反応拡散系は応用される。例えば、[[生物学]]や[[地質学]]、[[物理学]]や[[生態学]]において、そのような応用例は見られる。数学的に言うと、反応拡散系は半線形[[放物型偏微分方程式]]の形を取るものである。

一般的には次のように記述される。
:<math>
\partial_t \boldsymbol{q} = \underline{\underline{\boldsymbol{D}}} \,\nabla^2 \boldsymbol{q}
+ \boldsymbol{R}(\boldsymbol{q}). </math>

ここでベクトル '''q'''('''x''',''t'') の各成分はある物質の濃度を表し、<math>\underline{\underline{D}}</math> は[[拡散係数]]からなる[[対角行列]]を表し、'''R''' はすべての局所的な反応を表す。反応拡散方程式の解は、[[波|進行波]]の形成や波に似た現象、あるいは帯や六角形のような[[自己組織化|自己組織]]{{仮リンク|パターン形成|label=パターン|en|pattern formation}}、あるいは{{仮リンク|散逸ソリトン|en|dissipative soliton}}のようなより複雑な構造を含む、幅広い範囲の挙動を見せるものである。

== 一成分の反応拡散方程式 ==
最も簡単な反応拡散方程式は、空間一次元における単一物質の濃度 ''u'' に関するもので、
:<math>
\partial_t u = D \partial^2_x u + R(u)
</math>

と記述され、これはKPP方程式（Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov の略）とも呼ばれる<ref>A. Kolmogorov
et al., Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1</ref>。反応項が無い場合、方程式は純粋な拡散過程のみを表す。そのような方程式は[[フィックの法則|フィックの第二法則]]に関係するものである。反応項が ''R''(''u'') = ''u''(1-''u'') である場合、生物学的な[[人口]]の広がりを表現するために元々用いられた、[[フィッシャーの方程式]]が得られる<ref>R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355</ref>。''R''(''u'') = ''u''(1&nbsp;&minus;&nbsp;''u''<sup>2</sup>) である場合、[[ベナール・セル|レイリー＝ベナール対流]]を表すためのニューウェル＝ホワイトヘッド＝シーゲル方程式が得られる<ref>A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279</ref><ref>L. A. Segel,
J. Fluid Mech. 38 (1969): 203</ref>。''R''(''u'') = ''u''(1&nbsp;&minus;&nbsp;''u'')(''u''&nbsp;&minus;&nbsp;''α'') および 0&nbsp;<&nbsp;''α''&nbsp;<&nbsp;1 である場合には、燃焼理論に現れるより一般的な[[ヤーコフ・ゼルドビッチ|ゼルドビッチ]]方程式が得られる<ref>Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341</ref>。そしてその特別な退化的な例は ''R''(''u'') = ''u''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''u''<sup>3</sup> の場合に得られ、その方程式もまたゼルドビッチ方程式と呼ばれる<ref>B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)</ref>。

一成分の系のダイナミクスは、ある特定の制限に関するものである。なぜならば、その発展方程式は変分系
:<math>
\partial_t u=-\frac{\delta\mathfrak L}{\delta u}
</math>

としても書かれ、したがってこれは次式で与えられる「自由エネルギー」<math>\mathfrak L</math> の永続的な減少を意味するからである。
:<math> \mathfrak L=\int\limits_{-\infty}^\infty\left[\frac
D2(\partial_xu)^2-V(u)\right]\text{d}x
 </math>

ここで ''V''(''u'') は ''R''(''u'')=d''V''(''u'')/d''u'' であるようなポテンシャルを表す。
[[Image:Travelling wave for Fisher equation.svg|thumb|right|ある[[フィッシャーの方程式]]の進行波解の図]]  
一つ以上の定常同次解を備える系において、典型的な解は、その同次状態をつなぐ進行波として与えられる。そのような解は、その形状を変えずに一定の速度で移動し、''u''(''x'',&nbsp;''t'') = û(''ξ'') と記述される。ここで  ''ξ''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''ct'' であり ''c'' はその進行波の速度を表す。ここで、進行波は一般的に安定な構造を備えるが、非単調な定常解（例えば、前進と反前進のペアで構成される局所化された領域）は不安定であることに注意することである。''c''&nbsp;=&nbsp;0 の場合には、この記述内容には次のような簡単な証明が存在する<ref name="fife">P. C. Fife, Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems, Springer (1979)</ref>：''u<sub>0</sub>''(''x'') が定常解、''u''=''u''<sub>0</sub>(''x'')&nbsp;+&nbsp;''ũ''(''x'',&nbsp;''t'') が無限小摂動解であるなら、線型安定性解析によって次の方程式が導かれる。
:<math>
\partial_t \tilde{u}=D\partial_x^2
\tilde{u}-U(x)\tilde{u},\quad U(x) =
-R^{\prime}(u)|_{u=u_0(x)}.</math>

この解 ''ũ''&nbsp;=&nbsp;''ψ''(''x'')exp(&minus;''λt'') に対し、[[シュレディンガー方程式|シュレディンガー型]]の固有値問題
:<math> \hat H\psi=\lambda\psi, \qquad
    \hat H=-D\partial_x^2+U(x),
</math>

が得られる。ただし、その負の固有値が解の不安定性に帰結するものである。平行移動不変性により、''ψ'' = ∂<sub>''x''</sub>''u''<sub>0</sub>(''x'') は[[固有値]] λ = 0 に対応する中立的な[[固有関数]]であり、その他のすべての固有関数は、ゼロ解の数について単調に増加する実固有値の絶対値について、増加する結び目の数に従って分類される。固有関数  ''ψ'' = ∂<sub>''x''</sub> ''u''<sub>0</sub>(''x'') は少なくとも一つのゼロ解を持ち、非単調な定常解については対応する固有値 ''λ'' = 0 は最小のものではなく、したがって不安定性を意味する。

進行波の速度 ''c'' を決定するために、移動座標系を考え、定常解を探すことが出来る。
:<math>
  D \partial^2_{\xi}\hat{u}(\xi)+ c\partial_{\xi} \hat{u}(\xi)+R(\hat{u}(\xi))=0.
</math>

この方程式は、位置 ''û''、時間 ''ξ''、力 ''R''、減衰係数 c に対する質量 ''D'' の動きに対する機械的な類似性を備えるものである。

空間一次元からより高次の空間次元に議論を移しても、依然として有効となる内容は数多く存在する。平らな、あるいは曲がった進行波は典型的な構造で、曲がった波の局所速度が局所[[曲率|曲率半径]]に依存するに従い、新たな効果が生じるものである（このことは[[極座標系]]を考えることで分かる）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性を導く<ref name="mikhailov">
A. S. Mikhailov, Foundations of Synergetics I.
Distributed Active Systems, Springer (1990)</ref>。

== 二成分の反応拡散方程式 ==
二成分の系は、一成分の系と比較してより幅広い現象を許すものである。[[アラン・チューリング]]によって初めて提唱されたある重要なアイデアに、局所的な系においては安定であっても[[拡散]]の存在する状況では不安定となる状態というものがある<ref>A. M. Turing, Phil.
Transact. Royal Soc. B 237 (1952): 37</ref>。拡散は一般的には安定化効果と関連するものであるので、一聴するとこのアイデアは直感に反するもののようでもある。

しかしながら、線型化安定性解析によって、一般的な二成分系
:<math> \left( \begin{array}{c}
\partial_t u\\ \partial_t v
\end{array} \right) =
\left(\begin{array}{cc} D_u &0\\0&D_v
\end{array}\right)
\left( \begin{array}{c} \partial_{xx} u\\ \partial_{xx} v
\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} F(u,v)\\G(u,v)
\end{array}\right)
</math>

を線型化するとき、定常同次解の[[平面波]]摂動
:<math>
\tilde{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x},t) =
\left(\begin{array}{c}
\tilde{u}(t)\\\tilde{v}(t)\end{array}\right) e^{i
\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} </math>

は次を満たすことが分かる。

:<math>
 \left(
  \begin{array}{c}
    \partial_t \tilde{u}_{\boldsymbol{k}}(t)\\
    \partial_t \tilde{v}_{\boldsymbol{k}}(t)
  \end{array}
\right) = -k^2\left(
  \begin{array}{c}
    D_u \tilde{u}_{\boldsymbol{k}}(t)\\
    D_v\tilde{v}_{\boldsymbol{k}}(t)
  \end{array}
\right) + \boldsymbol{R}^{\prime} \left(
  \begin{array}{c}
    \tilde{u}_{\boldsymbol{k}}(t)\\
    \tilde{v}_{\boldsymbol{k}}(t)
  \end{array}
\right). </math>

チューリングのアイデアは、反応函数の[[ヤコビアン]] '''R'''' の符号によって特徴付けられた系の四つの[[同値類]]においてのみ、理解されるものである。特に、有限の波ベクトル '''k''' が最も不安定なものであると仮定されたとき、そのヤコビアンは符号
:<math> \left(\begin{array}{cc} +&-\\+&-\end{array}\right),
\quad \left(\begin{array}{cc} +&+\\-&-\end{array}\right), \quad
\left(\begin{array}{cc} -&+\\-&+\end{array}\right), \quad
\left(\begin{array}{cc} -&-\\+&+\end{array}\right) </math>

を備えるものでなければならない。この系の類は、その第一の描写にちなみ'''活性因子・抑制因子系'''（activator-inhibitor system）と呼ばれる。すなわち、基底状態の近くではある成分は両成分の生産を促進するが、一方で別の成分はそれらの成長を阻害している。その最も傑出した代表例は、[[フィッツフュー-南雲モデル|フィッツフュー＝南雲方程式]]
:<math>
\begin{align}
\partial_t u &= d_u^2 \,\nabla^2 u + f(u) - \sigma v, \\
\tau \partial_t v &= d_v^2 \,\nabla^2 v + u - v
\end{align}
</math>

である。ここで ''ƒ''(''u'')&nbsp;=&nbsp;''λu''&nbsp;&minus;&nbsp;''u''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''κ'' は[[活動電位]]がどのように神経を移動するかを表している <ref name="fitzhugh">R. FitzHugh, Biophys. J. 1 (1961):
445</ref><ref>J. Nagumo et al., Proc. Inst. Radio Engin.
Electr. 50 (1962): 2061</ref>。また ''d<sub>u</sub>''、''d<sub>v</sub>''、''τ''、''σ'' および ''λ'' は正定数である。

活性因子・抑制因子系にパラメータの変化が施されたとき、均質な基底状態が安定であるような条件から、それが線型不安定であるような条件へと移ることがある。その対応する[[分岐 (力学系)|分岐]]は、支配的な波数 ''k''&nbsp;=&nbsp;0 を備える大域的な振動均質状態への[[ホップ分岐]]であるか、支配的な有限の波数を備える大域的なパターン状態への'''チューリング分岐'''のいずれかであり得る。空間二次元における後者の分岐は、通常、ストライプや六角形のパターンを導くものである。

<gallery caption="亜臨界チューリング分岐：フィッツフュー＝南雲型の二成分反応拡散系におけるノイズの多い初期状態からの六角形パターンの形成。" widths="257" heights="235" perrow="3">
Image:Turing_bifurcation_1.gif| ''t''&nbsp;=&nbsp;0のノイズの多い初期状態。
Image:Turing_bifurcation_2.gif| ''t''&nbsp;=&nbsp;10の系状態。
Image:Turing_bifurcation_3.gif| ''t''&nbsp;=&nbsp;100のほとんど収束した状態。
</gallery>

フィッツフュー＝南雲の例に対し、そのチューリング分岐およびホップ分岐のための線型安定領域の境界を作る中立安定曲線は、次式で与えられる。
:<math>
\begin{align}
q_{\text{n}}^H(k): &{}\quad \frac{1}{\tau} + (d_u^2 + \frac{1}{\tau} d_v^2)k^2 & =f^{\prime}(u_{h}),\\[6pt]
q_{\text{n}}^T(k): &{}\quad \frac{\kappa}{1 + d_v^2 k^2}+ d_u^2 k^2 & = f^{\prime}(u_{h}).
\end{align}
</math>

分岐が亜臨界であるなら、基底状態とパターンが共存するような[[ヒステリシス]]な領域において、しばしば局所的な構造（{{仮リンク|散逸ソリトン|en|dissipative solitons}}）が観測される。その他、頻繁に現れる構造としては、パルス列（[[周期進行波]]としても知られる）、螺旋波、ターゲットパターンがある。それら三つの解のタイプは、局所的なダイナミクスが安定なリミットサイクルを備えるような二成分（あるいはより多くの成分）の反応拡散方程式の、一般的な構造である<ref>N. Kopell and L.N. Howard, Stud. Appl. Math. 52 (1973): 291</ref>。

<gallery caption="フィッツフュー＝南雲型の二成分の拡散反応系に現れる他のパターン。" widths="265" heights="235" perrow="3">
Image:reaction_diffusion_spiral.gif| 回転する螺旋。
Image:reaction_diffusion_target.gif| ターゲットパターン。
Image:reaction_diffusion_stationary_ds.gif| 定常的な局所化されたパルス（散逸ソリトン）。
</gallery>

== 三成分およびそれ以上の成分の反応拡散方程式 ==
様々な系に対して、二つよりも多い成分の反応拡散方程式が提唱されている。例えば、[[ベロウソフ・ジャボチンスキー反応]]のモデル<ref>V. K. Vanag and I. R. Epstein, Phys. Rev. Lett.
92 (2004): 128301</ref>、[[血液凝固]]のモデル<ref>E. S. Lobanova
and F. I. Ataullakhanov, Phys. Rev. Lett.
93 (2004): 098303</ref>あるいは平面の{{仮リンク|気体中の電気放電|label=気体放電|en|electric discharge in gases}}系<ref>H.-G. Purwins et al. in: Dissipative Solitons,
Lectures Notes in Physics, Ed. N. Akhmediev and A. Ankiewicz,
Springer (2005)</ref>などが挙げられる。

より多くの成分を含む系では、一成分あるいは二成分の系では起こり得ないさまざまな現象（例えば、大域的フィードバックのない空間多次元における安定ランニングパルスなど）が起こることが知られている<ref>C. P. Schenk et al.,
Phys. Rev. Lett. 78 (1997): 3781</ref>。扱う系の性質に依存して起こり得る現象についての導入と系統的な概要については、<ref>A. W. Liehr: ''[http://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-31250-2 Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction.]'' Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2.</ref>で与えられている。

== 応用と普遍性 ==
近年、反応拡散系は{{仮リンク|パターン形成|en|pattern formation}}に対する基本的なモデルとして、多くの関心を集めている。上述のパターン（進行波、スパイラル、ターゲット、六角形、ストライプ、散逸ソリトン）は様々なタイプの反応拡散系において見られる。しかしそこには多くの矛盾、例えば、局所反応項においてそれらが見られるなど、が存在する。反応拡散過程は、生物学における[[形態形成]]と関連する過程に対する本質的な基盤であることも、述べられている<ref>L.G. Harrison, Kinetic Theory of Living Pattern, Cambridge University Press (1993)</ref> 。そして、それは動物の毛皮や、皮膚の色素沈着に対しても関連付けられている<ref>H. Meinhardt, Models of Biological Pattern Formation, Academic Press (1982)</ref><ref>J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer (1993)</ref>。
{{see also|[[:en:The chemical basis of morphogenesis]]}}
反応拡散方程式のさらなる応用例は、生態の侵入<ref>E.E. Holmes et al, Ecology 75 (1994): 17</ref>や感染症の拡がり<ref>J.D. Murray et al, Proc. R. Soc. Lond. B 229 (1986: 111</ref>、腫瘍の成長<ref>M.A.J. Chaplain J. Bio. Systems 3 (1995): 929</ref><ref>J.A. Sherratt and M.A. Nowak, Proc. R. Soc. Lond. B 248 (1992): 261</ref><ref>R.A. Gatenby and E.T. Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745</ref>や、傷の治癒<ref>J.A. Sherratt and J.D. Murray, Proc. R. Soc. Lond. B 241 (1990): 29</ref>などに見られる。反応拡散系が関心を集める別の理由には、それらが非線型偏微分方程式であるにもかかわらず、解析的な扱いがたびたび可能となることが挙げられる<ref name="fife" /><ref name="mikhailov" /><ref>P. Grindrod,Patterns and Waves: The Theory and Applications of Reaction-Diffusion Equations, Clarendon Press (1991)</ref><ref>J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion Equations, Springer (1994)</ref><ref>B. S. Kerner and V. V. Osipov, Autosolitons. A New Approach to Problems of Self-Organization and Turbulence, Kluwer Academic Publishers (1994)</ref>。

== 実験 ==
化学における反応拡散系のよく管理された実験には、現在三つの方法があることが知られている。第一に、ゲル型リアクター<ref>K.-J. Lee et al.,
Nature 369 (1994): 215</ref>あるいはキャピラリーチューブ<ref>C. T. Hamik and O. Steinbock,
New J. Phys. 5 (2003): 58</ref>が用いられること。第二に、キャタリティック表面上の温度パルスが調べられること<ref>H. H. Rotermund et al.,
Phys. Rev. Lett. 66 (1991): 3083</ref><ref>M. D. Graham et al.,
J. Phys. Chem. 97 (1993): 7564</ref>。第三に、反応拡散系を用いて神経パルスの進行がモデル化されること<ref name="fitzhugh" /><ref>A. L. Hodgkin and A. F. Huxley,
J. Physiol. 117 (1952): 500</ref>、である。

それらの一般的な例とは別に、適切な環境下ではプラズマ<ref>M. Bode and H.-G. Purwins,
Physica D 86 (1995): 53</ref>や半導体<ref>E. Schöll,
Nonlinear Spatio-Temporal Dynamics and Chaos in Semiconductors,
Cambridge University Press (2001)</ref>のような電気輸送系も、反応拡散の手法によって表現することが出来ることが判明している。それらの系に対して、パターン形成に関する様々な実験が行われている。

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[チューリング・パターン]]
*{{仮リンク|自己波動|en|Autowave}}
*{{仮リンク|拡散律速反応|en|Diffusion-controlled reaction}}
*[[反応速度論]]
*[[位相空間法]]
*[[自触媒反応]]
*{{仮リンク|パターン形成|en|Pattern formation}}
*{{仮リンク|自然界のパターン|en|Patterns in nature}}
*[[周期進行波]]
*{{仮リンク|確率幾何学|en|Stochastic geometry}}
*[[:en:MClone|MClone]]
{{Div col end}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://texturegarden.com/java/rd/ Java applet] 反応拡散のシミュレーション
* [http://www.joakimlinde.se/java/ReactionDiffusion/index.php Another applet] グレイ＝スコットの反応拡散
* [http://cornguide.com/rd.php Java applet] いくつかの種の蛇に見られるパターン形成をシミュレートするための反応拡散
* [http://softology.com.au/gallery/galleryrd.htm Gallery] 反応拡散の画像と動画
* [http://www.texrd.com TexRD software] 反応拡散を基盤とするランダム・テクスチャー・ジェネレーター
* [http://mrob.com/pub/comp/xmorphia/ Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's parameterization] グレイ＝スコット反応拡散のパラメータ空間の可視図
* [http://hantz.web.elte.hu/cikkfile/hantzth.pdf A Thesis] 反応拡散パターンと分野の概観についての論文
* [http://flexmonkey.blogspot.co.uk/2013/03/stage3d-agal-reaction-diffusion.html ReDiLab - Reaction Diffusion Laboratory] ベロウソフ＝ジャボチンスキー、グレイ＝スコット、ウィラモフスキー＝レスラーおよびフィッツフュー＝南雲モデルをシミュレートした Flash & GPU based application（完全なソースコード付き）

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はんのうかくさんけい}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:物理化学]]
[[Category:拡散]]