反発係数のソースを表示

{{物理量
| 名称 = 
| 英語 = coefficient of restitution
| 画像 =[[ファイル:Colorful_Super_ball.jpg|thumb|250px]]
| 記号 =''e''
| 次元 =''[[無次元数|無次元量]]''
| 階 =スカラー
| SI =
| CGS =
| MTS =
| FPS =
| MKSG =
| CGSG =
| FPSG =
| プランク =
| 原子 =
}}
'''反発係数'''（はんぱつけいすう、coefficient of restitution）は、2物体の[[衝突]]において、衝突前の互いに近づく速さに対する、衝突後の互いに遠ざかる速さの比のことである（衝突の前後での相対速度の大きさの比）。'''はねかえり係数'''ともいう。普通、文字''e'' で示し、0≦''e'' ≦1の範囲をとる単位がない値（[[無次元数]]）である。

衝突時に2物体の間でのみ力がはたらく場合、2物体全体の[[運動量保存の法則|運動量の和は一定]]であるが、[[運動エネルギー]]の和は一定とは限らない。一般に衝突時には[[音]]や温度上昇が生じるので、運動エネルギーの一部が他の形態のエネルギー（[[音]]や[[内部エネルギー]]など）に変化した場合は、2物体の質量や衝突前の速度に関わらず、衝突前に互いに近づく速さより衝突後に互いに遠ざかる速さの方が一般には小さい。このとき反発係数は値が1よりも小さくなる。

2物体が硬いほど値は1に近くなる。理想的な[[剛体]]では振動が生じ得ないので音も[[熱エネルギー]]も生じず衝突の前後で運動エネルギーの和が変化しないので、反発係数の値は''e'' = 1となる。

衝突時に何らかの形で運動エネルギーが供給されない限り、反発係数が1よりも大きくなることはない。

== 定義式 ==
物体1と物体2が衝突し速度がそれぞれ''v''<sub>1</sub> から''v''<sub>1</sub>' 、''v''<sub>2</sub> から''v''<sub>2</sub>' に変わったとすると、反発係数''e'' は
: <math>
e=\frac{|v'_1-v'_2|}{|v_1-v_2|}=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}
</math>

で定義される。

== 分類 ==
''e'' =1の衝突を'''弾性衝突''' ([[反発係数#弾性衝突|次項]]参照)、0≦''e'' <1の衝突を'''非弾性衝突'''といい、特に''e'' =0の衝突を'''完全非弾性衝突'''という。

== 弾性衝突 ==
反発係数が1となる衝突を（完全）[[弾性衝突]]という。弾性衝突では、運動量だけでなく運動エネルギーも保存している。

衝突で運動量と運動エネルギーの両方が保存するとき、反発係数が1になることは、以下のように示せる。


運動エネルギー保存の式として、

:<math>
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2
</math>

:<math>
\Leftrightarrow \frac{1}{2}m_1({v_1}^2-{v'_1}^2)=\frac{1}{2}m_2({v'_2}^2-{v_2}^2)
</math>

:<math>
\Leftrightarrow m_1(v_1+v'_1)(v_1-v'_1)=m_2(v'_2+v_2)(v'_2-v_2)
</math>

運動量保存の式として、

:<math>
m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2
</math>

:<math>
\Leftrightarrow m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2)
</math>

ここで、衝突によってそれぞれの物体の速度が必ず変わると仮定すると、

:<math>
v_1-v'_1 \neq 0
</math>

:<math>
v'_2-v_2 \neq 0
</math>

よって、先程の２式を辺々割り算することができ、その結果として、

:<math>
v_1+v'_1=v'_2+v_2
</math>

:<math>
\Leftrightarrow v_1-v_2=-(v'_1-v'_2)
</math>

これは衝突の前後で相対速度が同じ大きさで逆向きであることを示している。よって、

: <math>
e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}=1
</math>

となる。導出過程の通り、このことは物体の質量によらず成り立つ。

== 例 ==
* [[ビリヤード]]の球が硬いのは、反発係数を1に近づけるためである。

* [[スポーツ]]の[[球技]]では、球の反発係数が重要となるため、ルールでかならず指定している。ただし、反発係数を直接指定するのは分かりにくいため、通常はその球技で用いる床面に、ある高さから球を[[自由落下]]させ、床面との衝突後、球がどの高さまで上がるかという形で間接的に指定している。これは、次の一般的事実を利用したものである。物体が高さ''h''<sub>''i''</sub> から自由落下し、床面に衝突した後、高さ''h''<sub>''f''</sub> まではね上がったとき、[[空気抵抗]]を無視すれば、物体と床面の間の反発係数''e'' は次式で求められる：
:: <math>e=\sqrt{\frac{h_f}{h_i}}</math>

== 脚注 ==

== 関連項目 ==
* [[ボールの跳ね返り運動]]

{{デフォルトソート:はんはつけいすう}}
[[Category:力学]]
[[Category:無次元数]]

[[de:Stoß (Physik)#Realer Stoß]]