反転幾何学のソースを表示

{{distinguish|反転環幾何}}
[[初等幾何学]]における'''反転幾何学'''（はんてんきかがく、{{lang-en-short|''inversive geometry''}}）は、[[平面幾何学]]において'''反転''' {{lang|en|(inversion)}} と呼ばれる種類の[[変換 (数学)|変換]]を一般化したものに関して保たれる[[図形]]の性質について研究する。

平面上の反転変換は、[[角度|角]]を保ち（[[共形性|等角性]]）、一般化された[[円周|円]]を一般化された円に写す（「円円対応」）ような[[写像]]になっている。ここで「一般化された円」というのは、円または（[[無限遠点]]を中心とする[[半径]][[無限|無限大]]の円と見做される）[[直線]]のいずれかであることを意味する。初等幾何学における難しい問題が、反転を施すと扱いやすくなるというようなことも少なくない。

このような平面上の反転の概念を、より高次元の場合に一般化することができる。

== 円に関する反転 ==
=== 点の反転 ===
<gallery>
File:Inversion illustration1.svg|点 {{math|P′}} は点 {{math|P}} を赤い円に関して反転した点である。
File:Inversion illustration2.svg|点 {{math|O}} を通る円（青）の、赤い円に関する反転は、点 {{math|O}} を通らない直線（緑）になる。逆もまた然り。
File:Inversion illustration3.svg|点 {{math|O}} を通らない円（青）の、赤い円に関する反転は、点 {{math|O}} を通らない円（緑）になり、逆もまた然り。
File:Inversion in circle 2.png|円 {{math|O}} の外側にある点 {{math|P}} の、反転点 {{math|P′}} の作図方法。円 {{math|O}} の半径を {{mvar|r}} として、直角三角形 {{math|OPN, OP′N}} は相似ゆえ、{{math|OP : ''r''}} は {{math|''r'' : OP′}} に等しい。
File:Inversion.gif|円に関する反転では、円の中心が写る先の円の中心へ写るわけではない。
</gallery>

平面において、中心 {{math|O}}, 半径 {{mvar|r}} の'''基準円''' {{lang|en|(''reference circle'')}} に関して点 {{math|P}} を'''反転'''すると、{{math|O}} を始点として {{math|P}} を通る半直線上で
:<math>\mathrm{OP}\times\mathrm{OP'} =r^2</math>
を満たす点 {{math|P′}} に写る。反転変換によって {{math|O}} と異なる各点 {{math|P}} がその像 {{math|P′}} へ写るとき、それと同時に点 {{math|P′}} は {{math|P}} に写される。故に、同じ反転変換を二度続けて施した結果として得られる変換は、{{math|O}} を除く平面上の点全体の成す集合上では[[恒等変換]]になる。反転変換を[[対合]]とするためには、平面上の全ての直線上に載っている唯一の点として[[無限遠点]]を導入し、反転の定義域を拡張して、基準円の中心 {{math|O}} と無限遠点とが入れ替わるようにしなければならない。

定義から従うことに、基準円の内側にある各点は基準円の外側へ、外側の各点は内側へそれぞれ写り、中心と無限遠点とが入れ替わる一方、基準円の周上にある各点は何ら影響も受けない。端的に言えば、円の中心に近ければ近いほど反転変換で遠くに写り、遠ければ遠いほど近くへ写るということである。

=== 性質 ===
平面上の点集合の反転は、それを基準円で分離したときのそれぞれの部分を反転して得られる点集合になる。円反転に関して以下の性質は重要である。
* 基準円の中心を通る円は、基準円の中心を通らない直線に反転し、逆に基準円の中心を通らない直線は基準円の中心を通る円に反転する。一方、基準円の中心を通る直線は、反転して自分自身に写る。
* 基準円の中心を通らない円を反転すると、円と基準点の交点は変わらずやはり基準円の中心を通らない円に写る。円（または直線）が反転変換で保たれるための必要十分条件は、それが基準円との交点において基準円と[[直交]]することである。

他には以下のような性質がある：
* 相異なる二点 {{math|A, A′}} を通る円 {{mvar|q}} の、円 {{mvar|k}} に関する反転が {{math|A, A′}} を入れ替えるならば、二円 {{mvar|k, q}} は互いに直交する。
* 二円 {{mvar|k, q}} が直交するとき、{{mvar|k}} の中心 {{math|O}} を通り {{mvar|q}} と交わる直線は、従って {{mvar|q}} との交点の {{mvar|k}} に関する反転点でも交わる。
* 円 {{mvar|k}} の中心 {{math|O}} を一つの頂点とする三角形 {{math|OAB}} を取り、{{math|A}} および {{math|B}} の {{mvar|k}} に関する反転点をそれぞれ {{math|A′}} および {{math|B′}} とすれば、<math display="block">
 \angle\mathrm{OAB} = \angle\mathrm{OB'A'} \text{ and }\angle\mathrm{OBA} = \angle\mathrm{OA'B'}
</math>が成り立つ。
* 基準円 {{mvar|k}} に直交する二円 {{mvar|p, q}} の二交点は、{{mvar|k}} に関する反転によって互いに入れ替わる。
* 二点 {{math|M, M′}} が互いに基準円 {{mvar|k}} に関する反転点で、それぞれ曲線 {{mvar|m, m′}} 上に載っていて、曲線 {{mvar|m, m′}} も {{mvar|k}} に関する反転で互いに入れ替わるとすると、曲線 {{mvar|m}} および {{mvar|m′}} の点 {{math|M}} および {{math|M′}} における接線は、直線 {{math|MM′}} に直交するか、さもなくば線分 {{math|MM′}} を底辺とする二等辺三角形を成す。
* 反転変換によって角の大きさはそのまま保たれるが、有向角の向きは逆になる。

=== 応用 ===
ある円の中心、その円を円反転して得られる円の中心、基準円の中心は{{ill2|共線関係|en|collinearity}}を持つ（同一直線上にある）ことに注意する。この事実は、三角形の[[三角形の内接円と傍接円#ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形|接触三角形]]の[[オイラー線]]が、その内心 {{math|I}} と外心 {{math|O}} を通る直線 {{math|OI}} に一致することを示すのに有用である。

三角形 {{math|ABC}} の[[内接円]]に関する反転変換で、内接三角形の[[中点三角形]]は三角形 {{math|ABC}} に写る。これはつまり、中点三角形の外心は内接三角形の九点心であって、三角形 {{math|ABC}} の内心および外心と共線であることを意味する。

交わりを持たない任意の二円は[[同心円]]に反転され得る、その場合それらの円の間の{{仮リンク|反転距離|en|inversive distance}} {{mvar|δ}} は、同心な二円の半径の比の[[自然対数]]として定義される。

加えて、交わりを持たない任意の二円は、{{仮リンク|反相似円|en|circle of antisimilitude}}上の点を中心とする円に関する反転で、[[図形の合同|合同]]な二円に写すことができる。

{{仮リンク|ポースリエリンク機構|en|Peaucellier linkage}}は円反転の機械的実装である。これを使えば、直線運動と円運動との変換という重要な問題の厳密な解が得られる。

=== 三次元内の反転 ===
円反転は、三次元空間における球面反転に一般化される。空間内の点 {{math|P}} の、中心 {{math|O}}, 半径 {{mvar|R}} の基準球面に関する反転点を {{math|P′}} とすると、
: <math>\mathrm{OP}\times\mathrm{OP'} =R^2</math>
かつ、二点 {{math|P, P′}} は {{math|O}} を始点とする一つの半直線上にある。二次元の場合と同様に、球面反転によって球面は球面に写る（ただし、球面が基準球面の中心 {{math|O}} を通る場合は例外で、この場合は平面に写る）。基準円の中心 {{math|O}} を通らない任意の平面は、反転して {{math|O}} に接する球面に写る。球面と割平面との交点としての円は、同じく円に写るが、やはり例外として円が基準球面の中心 {{math|O}} を通る場合には直線に写る。このことは、割平面が基準球面の中心 {{math|O}} を通る場合には二次元の場合に帰着できるが、通らない場合には三次元特有の現象である。

球面反転の特別の場合として[[立体射影]]がある。半径 {{math|1}} の球面 {{mvar|B}} と、{{mvar|B}} の南極 {{math|S}} で {{mvar|B}} に接する平面 {{mvar|P}} を考えると、平面 {{mvar|P}} は球面 {{mvar|B}} の、北極 {{math|N}} に関する立体射影である。ここで、{{mvar|B}} の北極 {{math|N}} を中心とする半径 {{math|2}} の球面 {{math|''B''{{sub|2}}}} を考えると、{{math|''B''{{sub|2}}}} に関する反転で 球面 {{mvar|B}} はその立体射影 {{mvar|P}} に写される。

== 公理化と一般化 ==
{{main|{{仮リンク|メビウス平面|en|Möbius plane}}}}
[[ユークリッド平面]]あるいはより一般に任意の[[アフィン平面]]に、ただ一つの[[無限遠点]]を各直線に対して追加したものを考えることによって得られるのが[[メビウス平面]]あるいは'''反転平面''' (''inversive plane'') と呼ばれるものである。これらメビウス平面は公理的に記述することができるものであって、有限幾何も無限幾何も両方が存在する。

ユークリッド平面から構成できるメビウス平面の一つの{{ill2|モデル (モデル理論)|label=模型|en|model (model theory)}}が[[リーマン球面]]である。

== エルランゲン目録との関係 ==
{{harvtxt|コクセター|2009|loc=6 円と球|pp=155-187}} に従えば、円に関する反転変換は1831年に[[ルートヴィヒ・イマニュエル・マグヌス|マグヌス]]が考案し、それ以来この写像は高等数学における手段の一つとなった{{Sfn|Coxeter|1969|loc=Chapter 6: Circles and Spheres |pp=77–95}}。円反転変換はいくつかの段階を経て応用されていき、じきに[[変換幾何学]]を学ぶ者が[[フェリックス・クライン|クライン]]の[[エルランゲン目録]]の重要性を認め、副産物として[[双曲幾何学]]のある種の模型が得られた。

=== 拡縮変換 ===
同心円に関する二つの反転変換の合成は、それらの円の半径同士の比によって特徴付けられる{{ill2|中心相似変換|en|homothety}}(similarity, homothety) あるいは{{仮リンク|拡大縮小|en|Scaling (geometry)}} (dilation) などと呼ばれるものになる。実際に式で書けば、二円の半径を変換を施す順に {{mvar|R, T}} として
: <math>x \mapsto R^2\frac{x}{|x|^2} = y \mapsto T^2\frac{y}{|y|^2} = \left(\frac{T}{R}\right)^{\!2} x</math>
は {{math|(''T''/''R''){{exp|2}}}}-倍変換である。

=== 逆数変換 ===
平面上の点を複素数 {{math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} と解釈し、[[複素共軛]] {{math|1= {{overline|''z''}} = ''x'' &minus; ''iy''}} も考えれば、{{mvar|z}} の[[逆数]]は 
: <math>\frac{1}{z} = \frac {\bar z}{|z|^2}</math>
で与えられるから、帰結として単位円に関する反転 {{math|''z'' {{mapsto}} ''w''}} は、代数的な形で
: <math>w=\frac{1}{\bar z}=\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}</math>
と書くことができる。逆数変換 (reciprocation) は[[メビウス群]]の[[群の生成系|生成元]]として、変換論で重要である。メビウス群の他の生成元は、平行移動と回転で、何れも三次元空間全体において物理的な操作を通してよく知られているものである。（上記円反転に依存した）逆数変換の導入は、（ユークリッド平面の反転幾何と同一視されることもある）メビウス幾何に固有の特性 (peculiar nature) を与えるものであるけれども、しかし反転幾何は（共軛を含めて逆数変換にしていない）生の円反転を含むから、メビウス幾何よりも広汎な研究領域である。反転幾何は[[複素共軛|共軛写像]]も含むが、共軛写像も円反転も非等角的である（後述）から、これらは何れもメビウス群の元ではない。メビウス群の元は、数平面全体で定義された[[解析函数]]であり、従って[[等角写像]]でなければならない。

=== より高度な幾何学へ ===
既に述べたとおり、原点（あるいは {{math|0}}）は円反転写像において特別な注意を要し、{{math|∞}} または {{math|1/0}} で示される無限遠点が添加される。複素数を用いた方法では、逆数変換がはっきりした演算として表され、無限遠点の添加によって[[リーマン球面]]としばしば呼ばれる[[複素射影直線]]の概念が導かれる。この空間およびその上の変換群の、部分空間及び部分群は、ベルトラミ、ケイリー、クラインらによって双曲幾何の初期の模型を導入するのに利用された。そして、これらの平面幾何における[[ニコライ・ロバチェフスキー|ロバチェフスキー]]および[[ボーヤイ・ヤノーシュ|ボヤイ]]に端を発する様々なアイデアを反転幾何は含んでいる。さらに[[フェリックス・クライン|クライン]]は1872年に発表した[[エルランゲン目録]]と言われる声明で、この変換写像群と幾何学的現象とを同一視することにより、大きく事態を打開する。それ以降、多くの数学者は[[空間 (数学)|空間]]にその上の変換写像からなる[[群 (数学)|群]]を合わせて考えたものに対して「幾何（学）」{{lang|en|(''geometry'')}} の語を用いるようになった。この意味での幾何学における図形の有意な性質とは、この変換群に関する[[不変量]] {{lang|en|(invariant)}} のことである。

例えば、スモゴルチェフスキーはロバチェフスキー幾何学の創始以前に反転幾何学の様々な定理を展開している<ref>A.S. Smogorzhevsky (1982) ''Lobachevskian Geometry'', [[Mir Publishers]], Moscow</ref>。

== 高次元での反転 ==
高次元へ一般化された意味において、反転幾何学とは[[ユークリッドの運動群|ユークリッド空間上の運動（等距変換）全体]]と[[超球面| {{mvar|n}}-次元球面]]に関する反転変換
: <math>x_i\mapsto \frac{r^2 x_i}{\sum_j x_j^2}</math>
（{{mvar|r}} は反転の基準球面の半径）とで生成される変換群の研究のことである。

上記の反転を二次元で {{math|1=''r'' = 1}} として考えたものは、[[単位円]]に関する円反転に他ならない。

既に述べたことと同様、反転幾何学では[[直線]]と[[円 (数学)|円]]（あるいは[[超平面]]と[[超球面]]）とに区別がなく、ユークリッド幾何に無限遠点を添加したものへ特定の埋め込みを考えれば、直線は単純に一つの円であって、その幾何の中で円を別の円に写したりすることを考えることができる。

高次元の[[共形写像]]が {{mvar|n}}-次元球面または超平面に関する反転とユークリッドの運動から厳密に生じるということは、著しい事実である（{{仮リンク|等角写像に関するリウヴィルの定理|en|Liouville's theorem (conformal mappings)}}を参照）。

== 反等角性 ==
円反転写像は反等角（反共形）、つまり各点において反転は角を保ち、かつ向きを逆にする（[[等角写像]]（共形写像）の場合であれば、「向き付けられた」角を保つ）。代数的には、写像が反共形になるのは、各点において[[ヤコビ行列]]が行列式の値が負の[[直交行列]]のスカラー倍になっている場合に限る（二次元の場合で言えば、ヤコビ行列が各点で鏡映のスカラー倍にならないといけないということ）。式で書けば、ヤコビ行列を {{mvar|J}} として、{{math|1=''J&sdot;{{sup|t}}J'' = ''kI''}}（{{mvar|k}} は適当なスカラー、{{mvar|I}} は[[単位行列]]）かつ {{math|1=det(''J'') = &minus;{{sqrt|''k''}}}} と書ける場合ということである。{{math|1=''z{{sub|i}}'' = ''x{{sub|i}}''/{{norm|'''x'''}}{{exp|2}}}} &mdash;ただし {{math|1={{norm|'''x'''}}{{exp|2}} {{coloneqq}} {{subsup|x|1|2}} + ⋯ + {{subsup|x|''n''|2}}}}&mdash; の場合にヤコビ行列を計算すれば、{{math|1=''JJ''{{sup|⊤}} = ''kI''}} ({{math|''k'' {{coloneqq}} 1/{{norm|'''x'''}}{{exp|4}}}}) となり、{{math|det(''J'')}} が負となることも計算すればわかるから、この反転が反等角であることが確かめられる。

複素数平面において、最も分かり易い円反転写像（つまり原点中心の単位円に関するもの）は、各点 {{mvar|z}} を {{math|1/''z''}} へ写す複素反転写像の複素共軛に等しい。複素解析的反転写像は等角であり、その共軛である円反転は反等角であるということになる。

== 反転と双曲幾何 ==
[[超球面|(''n'' − 1)-次元球面]]
: <math>x_1^2 + \cdots + x_n^2 + 2a_1x_1 + \cdots + 2a_nx_n + c = 0</math>
は、{{math|{{subsup|a|1|2}} + ⋯ + {{subsup|a|''n''|2}} &gt; ''c''}} なる限り正の半径を持ち、反転によって球面
: <math>x_1^2 + \cdots + x_n^2 + 2\frac{a_1}{c}x_1 + \cdots + 2\frac{a_n}{c}x_n + \frac{1}{c} = 0</math>
に写る。従って、先の球面が反転に関して不変となることと、{{math|1=''c'' = 1}} は同値となる。しかしこれは単位球面に対する直交条件であって、従って反転不変 {{math|(''n'' − 1)}}-次元球面
: <math>x_1^2 + \cdots + x_n^2 + 2a_1x_1 + \cdots + 2a_nx_n + 1 = 0</math>
は、単位球面と直交し、かつ単位球面の外側に中心を持つ。このような球面とその部分空間としてそれらを半球面に分離する超平面を合わせて考えたものは、双曲幾何学の[[ポワンカレ円板模型]]に関する超曲面である。

単位球面に関する反転はそれに直交する球面を不変にするから、反転変換写像は単位円の内側の点を外側へ、外側の点を内側へ写す。従って、このことは一般の直交球面において成り立つのであって、特に単位球面に直交する一つの球面に関する反転は、単位球面を単位球面自身に、かつ単位球面の内部の点を単位球面の内部に写すとともに、直交球面の内側の点を外側へ写し、かつ外側の点を内側へ写すから、この反転変換によりポワンカレ円板模型の鏡映変換が（単位球面の分離半球の直径を通る鏡映も含めるならば）定まる。こうして得られる鏡映変換の全体は、円板模型の等距変換群を生成する、つまりこの模型上の等距変換は等角写像である。従って、この模型内の二曲線のなす角は双曲空間において二曲線の成す角と等しい。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[射影幾何学]]
*{{仮リンク|射影幾何学の双対性|en|Duality (projective geometry)}}
*[[双曲幾何学]]
*[[ソディの6球連鎖]]
*{{仮リンク|反形曲線|en|Inverse curve}}
*{{仮リンク|反相似変換円|en|Circle of antisimilitude}}
*{{仮リンク|メビウス平面|en|Möbius plane}}
*[[メビウス変換]]
*[[反転]]
{{Div col end}}

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Inversion Theory and Conformal Mapping|first=David E. |last=Blair|year=2000|publisher=American Mathematical Society| isbn = 0-8218-2636-0 }}
* {{citation|last=Brannan|first=David A.|last2=Esplen|first2=Matthew F.|last3=Gray|first3=Jeremy J.|title=Geometry|year=2011|edition=2nd|chapter=Chapter 5: Inversive Geometry|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge| isbn = 978-1-107-64783-1 |pages=261–342}}
* {{citation|title=Geometry: Euclid and Beyond|first=Robin |last=Hartshorne|authorlink=ロビン・ハーツホーン|chapter=Chapter 7: Non-Euclidean Geometry, Section 37: Circular Inversion| isbn = 0-387-98650-2 |year=2000|publisher=Springer}}
** {{citation|和書|first=R.|last=ハーツホーン|authorlink=ロビン・ハーツホーン|others=[[難波誠]]訳|date=2008-02-09|title=幾何学 現代数学から見たユークリッド原論|chapter=37 円に関する反転|volume=II|publisher=丸善出版|isbn=978-4-621-06312-5}}
* {{citation | first=H.S.M. | last=Coxeter | authorlink= ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター | origyear= 1961 | year=1969| title= Introduction to Geometry |chapter=6 CIRCLES AND SPHERES| edition=2nd | publisher= John Wiley & Sons | isbn=0-471-18283-4 |pages=77–95}}
** {{citation|和書| first=H.S.M. | last=コクセター | authorlink= ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター| others=[[銀林浩]]訳 | title= 幾何学入門 | volume=上 |chapter=6 円と球 | publisher=筑摩書房 | series=ちくま学芸文庫 | date=2009-09-10 | isbn= 978-4-480-09241-0 |pages=155-187}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|反転|2=[[立花俊一]]}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SymmetryInCircle.shtml Inversion: Reflection in a Circle] at [[cut-the-knot]]
*[http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/inversive/inversive0.html Wilson Stother's inversive geometry page]
*[http://www.imocompendium.com/index.php?options=mbb|tekstkut&page=0&art=inversion_ddj|f&ttn=Dushan%20D;jukic1|%20Inversion|N/A&knj=&p=lh8j34  IMO Compendium Training Materials] practice problems on how to use inversion for math olympiad problems
* {{MathWorld|title=Inversion|urlname=Inversion}}
*[http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Inversion_dir/inversion.html Visual Dictionary of Special Plane Curves] Xah Lee

{{DEFAULTSORT:はんてんきかかく}}

[[Category:初等幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]