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{{出典の明記|date=2016年9月}}
'''収束半径'''(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、[[冪級数]]が[[収束]]する[[定義域]]を与える非負量（[[実数]]あるいは[[無限|∞]]）である。

次の冪級数を考える。

:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n</math>

ただし、中心 {{Mvar|a}} や係数 {{Math|{{Mvar|c}}{{sub|{{Mvar|n}}}}}} は[[複素数]]（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、 {{Mvar|r}} をこの級数の収束半径という。

:<math>\left|z-a\right|<r</math>
であるとき、級数は収束し、

:<math>\left|z-a\right|>r</math>
であるとき、級数は[[発散級数|発散]]する。

もし、級数が全ての複素数 {{Mvar|z}} に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。

== 収束半径の値 ==
収束半径は、級数の各項に[[コーシーの冪根判定法]]を適用することで求めることができる。もし、

:<math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|}</math>

（<math>\limsup</math>は[[上極限]]を表す）であれば、収束半径は {{Math|{{Sfrac|1|{{Mvar|C}}}}}} である。 {{Math|{{Mvar|C}}{{=}}0}} であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に[[孤立特異点|特異点]]は存在せず、 {{Math|{{Mvar|f}}({{Mvar|z}})}} が[[整関数]]であることを意味する。

ただ、大抵の場合は[[ダランベールの収束判定法]]で事足りる。ある自然数 {{Mvar|m}} が存在し、 {{Math|{{Mvar|m}}<{{Mvar|n}}}} となるすべての自然数 {{Mvar|n}} について {{Math|{{Mvar|c}}{{sub|{{Mvar|n}}}}≠0}} となるとき、[[極限]]

:<math> L = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| </math>

が存在するならば、収束半径は {{Math|{{Sfrac|1|L}}}} である。この極限は、上記の {{Mvar|C}} より計算しやすい。しかし、代わりに {{Mvar|C}} に関する公式を使わねばならないような場合には、 {{Mvar|L}} は収束しない。

また、具体的に係数 {{Math|{{Mvar|c}}{{sub|{{Mvar|n}}}}}} が求まらない場合は[[優級数]]を用いて評価する方法もある。[[複素関数]]の場合には、複素数 {{Math|{{Mvar|z}}{{sub|0}}}} を中心とした[[テイラー展開]]の収束半径は、その点から最も近い[[孤立特異点|特異点]]（[[微分]]できない点）までの距離に等しいことが知られている。逆に[[複素数平面]]上に級数が収束する領域を円で表すと、その境界線上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。

{{デフォルトソート:しゆうそくはんけい}}
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