可換体のソースを表示

{{出典の明記|date=2015-10}}
{{Expand English|Field (mathematics)|date=2024年5月}}
[[抽象代数学]]において'''可換体'''（かかんたい、{{lang-fr-short|corps commutatif}}）あるいは単に'''体'''（たい、{{lang-en-short|field}}）<ref group="注" name="a">本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。</ref>とは、[[零環|零でない]][[可換環|可換]][[可除環]]、あるいは同じことだが非零元全体が乗法の下で[[可換群]]をなすような[[環 (数学)|環]]のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と[[分配則]]を満たすような[[加法]]、[[減法]]、[[乗法]]、[[除法]]の概念を備えた[[代数的構造]]である。最もよく使われる体は、[[実数]]体、[[複素数]]体、[[有理数]]体であるが、他にも[[有限体]]、[[関数 (数学)|関数]]の体、[[代数体]]、[[p進数|''p'' 進数体]]などがある。

任意の体は、[[線型代数]]の標準的かつ一般的な対象である[[ベクトル空間]]の[[スカラー (数学)|スカラー]]として使うことができる。（[[ガロア理論]]を含む）[[体拡大]]の理論は、ある体に[[係数]]を持つ[[多項式]]の[[多項式の根|根]]に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である[[定規とコンパスによる作図|定規とコンパスを用いた]]{{仮リンク|角の三等分問題|en|angle trisection|preserve=1}}や[[円積問題]]が不可能であることの証明や[[五次方程式]]が代数的に解けないという[[アーベル-ルフィニの定理]]の証明が得られる。現代数学において、体論は[[数論]]や[[代数幾何学|代数幾何]]において必要不可欠な役割を果たしている。

代数的構造として、すべての体は[[環 (数学)|環]]であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（[[ゼロ除算]]を除いて）除算ができるが、環は[[乗法逆元]]がなくてもよいということである。例えば、[[整数]]の全体は環をなすが、2''x'' = 1 は整数において解を持たない。また、体における乗法演算は[[可換]]でなければならない。可換性を仮定しない除法の可能な環は[[可除環]]、[[斜体 (数学)|斜体]]、あるいは'''体'''<ref group="注" name="a"/>と呼ばれる。 

環として、体は[[整域]]の特別なタイプとして分類でき、以下のような[[クラス (集合論)|クラス]]の包含の鎖がある。
{{可換環のクラス}}
体をアルファベットで表すときは、''K''（続いて ''L'', ''M'' 等）を用いる慣例がある。これは体が[[ドイツ語]]で {{lang|de|"Körper"}} だからである。[[英語]]の {{lang|en|"field"}} の頭文字をとって ''F'' が用いられることもある。''F'' の次の文字 ''G'' は群と紛らわしいから、前の文字 ''E'' も用いられる。

== 定義 ==
{{See also|体 (数学)}}
'''体'''とは、以下の条件を満たす[[加法]]と[[乗法]]と呼ばれる 2 つの[[二項演算]]によって定まる[[代数的構造]]のことである。以下、[[台集合]] ''K'' に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果（積） ''a'' × ''b'' は ''ab'' と略記する。
* ''K'' は加法に関して[[アーベル群]]である： 
** ''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、[[結合法則]] ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' が成り立つ。
** ''a'' + 0{{sub|''K''}} = 0{{sub|''K''}} + ''a'' = ''a'' が ''K'' の元 ''a'' の取り方に依らずに満たされる[[加法単位元|零元]]と呼ばれる特別な元 0{{sub|''K''}} が存在する。
** ''a'' が ''K'' の元ならばそれに対して ''a'' + (&minus;''a'') = (&minus;''a'') + ''a'' = 0{{sub|''K''}} を満たす、[[マイナス元]]と呼ばれる元 &minus;''a'' が常に存在する。
** [[交換法則]]が成り立つ。つまり ''K'' のどんな元 ''a'', ''b'' についても、 ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' となる。
* ''K'' は乗法に関して[[モノイド]]であって、0 以外の元が[[可換群]]をなす：
** ''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、結合法則 ''a''(''bc'') = (''ab'')''c'' が成り立つ。
** ''a''1{{sub|''K''}} = 1{{sub|''K''}}''a'' = ''a'' が ''K'' の零元 0{{sub|''K''}} でない元 ''a'' の取り方に依らずに満たされる[[単位元]]と呼ばれる特別な元 1{{sub|''K''}} が存在する。
** ''a'' が零元 0{{sub|''K''}} でない ''K'' の元ならばそれに対して ''aa''{{sup|&minus;1}} = ''a''{{sup|&minus;1}}''a'' = 1{{sub|''K''}} を満たす、[[逆元]]と呼ばれる元 ''a''{{sup|&minus;1}} が常に存在する。
** [[交換法則]]が成り立つ。つまり ''K'' の任意の非零元 ''a'', ''b'' に対し ''ab'' = ''ba'' が成り立つ。
* 乗法は加法に対して[[分配法則|分配的]]である：''a'', ''b'', ''c'' を ''K'' の任意の元とするとき、''a''(''b'' + ''c'') = ''ab'' + ''ac'', (''a'' + ''b'')''c'' = ''ac'' + ''bc'' が成り立つ。
また、この条件を満たす代数的構造を備えた[[代数系]] (''K'', +, 0{{sub|''K''}}, ×, 1{{sub|''K''}}) あるいは省略して単に集合 ''K'' は「体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、'''自明な体'''と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は
* 1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
なる条件を加える。

== 例 ==
{|style="margin: 1ex auto 1ex 1em;float:right"
|+{{math2|'''F'''{{sub|2}} {{=}} {0,1} }}の演算表
|
{|class="wikitable"
|+加法
! + !! 0 !! 1 
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 0
|}
|
{|class="wikitable"
|+乗法
!× !! 0 !! 1
|-
! 0
| 0 ||0
|-
! 1
| 0 || 1
|}
|}
*有理数の全体 '''Q''' は体である。
*[[実数]]の全体 '''R''' や[[複素数]]の全体 '''C''' も体である。
*{0, 1} に対し表のように演算を定義すると、これは{{仮リンク|二元体|en|GF(2)}}と呼ばれる体になり、'''F'''{{sub|2}} などと表す。一見つまらない例であるようだが、この体は[[符号理論]]などに応用を持っている。
*より一般に、''p'' を[[素数]]とするとき、集合 {0, 1, …, ''p'' &minus; 1} に演算を定義して体にすることができる。この体を[[有限体]]と呼び、'''F'''{{sub|''p''}}, '''Z'''/''p'''''Z''' または GF(''p'') などと書く。
*体 ''k'' 上の[[有理関数]]の全体 ''k''(''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}'') も体である。
*体 ''k'' 上の[[形式的冪級数|形式的ローラン級数]]の全体 ''k''((''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}'')) も体である。
*[[代数的数]]の全体 {{overline|'''Q'''}} や代数的な実数の全体 {{overline|'''Q'''}} ∩ '''R''' も体である。
*素数 ''p'' に対して [[p進数|''p'' 進数]]の全体 '''Q'''{{sub|''p''}} も体である。
*[[定規とコンパスによる作図|定規とコンパスによって作図可能]]な複素数（作図可能数）の全体や実数（作図可能実数）の全体も体である。
{{-}}

== 諸概念 ==
{{see also|体論用語一覧}}
体 ''K'' が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群と見たときの代数系 (''K'', +) を体 ''K'' の'''加法群'''と呼ぶ。加法群を ''K''{{sup|+}} や '''G'''{{sub|a}}(''K'') と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く ''K'' の元の全体 ''K''{{sup|*}} に乗法を与えて得られる代数系 (''K''{{sup|*}}, ×) は群であり、'''乗法群'''と呼ばれる。''K'' の乗法群をしばしば ''K''{{sup|×}} とも記し、'''G'''{{sub|m}}(''K'') と記されることもある。体 ''K'' の乗法群の任意の有限部分群は[[巡回群]]である。

体の元の[[濃度 (数学)|濃度]]を'''位数'''といい、有限な位数を持つ体を[[有限体]]と呼び、そうでない体を'''無限体'''と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（[[ウェダバーンの小定理]]）。

''n''1 で単位元 1 を ''n'' 回足したものを表すとき、''n''1 = 0 となるような正の整数 ''n'' のうち最も小さなものをその体の[[標数]]という。ただし、そのような ''n'' が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。

体は 0 以外の元が全て可逆となる[[単位的環]]である。したがって、その[[イデアル]]や部分環の概念を考えることができるが、体は自明でないイデアルを持たない（これを体は'''[[単純環]]'''であるという）。体の単位的環としての部分環が再び体をなすとき、[[体の拡大|部分体]]という。

体 ''K'', ''L'' とその間の写像 ''f'': ''K'' &rarr; ''L'' が与えられたとき、''f'' が'''体の準同型'''であるとは、単位的環としての[[準同型]]であることをいう。つまり、体準同型 ''f'' は ''K'' の任意の元 ''a'', ''b'' および、''K'', ''L'' それぞれの単位元 1{{sub|''K''}}, 1{{sub|''L''}} に対して
:<math>f(a + b) = f(a) + f(b)</math>
:<math>f(ab) = f(a)f(b)</math>
:<math>f(1_K) = 1_L</math>
を全て満たす。また、その像 Im(''f'') = {''f''(''x'') | ''x'' &isin; ''K''} は ''L'' の部分体となり、核 Ker(''f'') = {''x'' &isin; ''K'' | ''f''(''x'') = 0{{sub|''L''}}} は ''K'' のイデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元に写ることはないことから、体の[[準同型]]は必ず[[単射]]になる。したがって、体の準同型 ''f'': ''K'' &rarr; ''L'' の像 Im(''f'') は ''K'' に体として同型である。これを'''中への同型'''と呼び、さらに ''f'' が[[全射]]であるとき'''上への同型'''であるという。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}

== 関連図書 ==
* 永田雅宜：「可換体論」(新版)、裳華房(数学選書6)、ISBN 978-4-78531309-8（1985年3月25日）.

== 関連項目 ==
* [[環論]]
* [[ベクトル空間]]
* [[有限体]]
* [[標数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |urlname= Field |title= Field }}
* {{SpringerEOM |title=Field |id=Field&oldid=29756 |last=Kuz'min |first=L.V. }}

{{Algebra}}
{{Abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:かかんたい}}
[[Category:体論|*]]
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]